I. Die einfachſten Körper in Parallelprojektion. 9

iſt auch als Übergang zur Ellipſe von Intereſſe und eignet ſich u. a. als Vorlage zur Konſtruktion perſpektivähnlicher Figuren.— Als An— wendung ſei der Schraubenſchlüſſel genannt.

10a. Einen Würfel ſo zu zeichnen, daß zwei gegenüberliegende Seiten⸗ kanten in der Tafel liegen; geſucht die Diagonale des Körpers[ſowie ihr Winkel gegen die Grundfläche]. Die Flächendiagonale iſt der Vorderfläche des in frontaler Stellung ge⸗ zeichneten Würfels(N 7) zu entnehmen.

11. Das regelmäßige Tetraeder aus a= 6(Fig. 6).

Man lege die Tafel durch eine Seitenkante und durch die Mitte der gegenüberliegenden Grundkante, alſo durch eine Gerade und einen außerhalb derſelben gelegenen Punkt. Die Schnittfigur iſt ein gleichſchenk⸗ liges Dreieck, welches die Seitenkante zur Grundlinie und die Mitte der Grundkante zur Spitze hat. Sein Schenkel iſt die Flächenhöhe h’; ſie muß aus dem Grund⸗ dreieck i. w. Gr. ermittelt werden. Die Schnittfigur ent⸗ hält noch die Höhe h des Körpers, außerdem den Ab⸗ Fig. 8. ſtand ho der windſchiefen Gegenkanten ſowie die Winkel, die die Grundfläche mit der Seitenfläche und mit der Seitenkante ein⸗ ſchließt. Die fehlenden Ecken ſind durch die auf der Tafel ſenkrechte Grundkante beſtimmt.

Anmerkung 1. Durch eine Drehung von 180° um ho ſowie durch eine ſolche von 1200 oder 240°um h geht das Tetraeder in ſich über; berückſichtigt man die drei

möglichen ho und die vier h, ſo bilden die 11 Drehungen zuſammen mit der Identität, die als Drehung von 3600 auftritt, eine Gruppe, die Tetraedergruppe.*

Anmerkung 2. In den vorſtehenden Aufgaben ſind alle Möglichkeiten, eine Ebene durch Punkte und Geraden zu beſtimmen, behandelt; man mache aus⸗ drücklich darauf aufmerkſam, daß die Feſtlegung einer Ebene durch zwei parallele Geraden auf der Erklärung paralleler Linien im Raum beruht.— An die oben behandelte Aufgabe läßt ſich noch die folgende Betrachtung anſchließen. Durch die in der Tafel liegende Seitenkante ſind drei Ebenen gelegt, nämlich zwei Seitenflächen und die Zeichenebene; man könnte unendlich viele Ebenen durch ſie hindurchlegen[Ebenen⸗ büſchel], aber keine von ihnen enthält die rückwärtslaufende Grundkante; man kann alſo keine Ebene legen, die beide Kanten zugleich enthält, ſie ſind windſchief. Wenn ſich ſolche Geraden im Bilde zu ſchneiden ſcheinen, ſo iſt es zweckmäßig, die zurück⸗ liegende Gerade an der betreffenden Stelle zu unterbrechen.

* H. Wiener, Abhandlungen zur Sammlung mathematiſcher Modelle, Bd. I. Heft 1, N 3, 4, 5. Teubner, 1907.