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An der Strenge dieser Beweise ist nicht zu zweifeln. Allerdings werden sie nur in der Mathematik in bündiger Form vorkommen können, da die Begriffe und Urteile nur in dieser Wissenschaft(und in der formalen Logik) völlig allgemeingiltig sind. Was hier von einem Beispiele als Typus einer ganzen Klasse gilt, muss wegen der Konstanz der mathe- matischen Gesetze auch von allen einzelnen Individuen derselben, also nach vollständiger Induktion auch von der ganzen Klasse selbst, Geltung haben).

Deshalb finden wir diese induktive Beweisform auch in der Geometrie. Dass der Centriwinkel doppelt so gross ist wie der auf gleichem Kreisbogen stehende Peripheriewinkel wird nach dem Vorgange Euklids²) dadurch gezeigt, dass man die Richtigkeit dieses Satzes an drei zweckmässig gewählten Beispielen erhärtet. Man wählt zunächst den Peripheriewinkel so, dass der Mittelpunkt des Kreises auf einem seiner Schenkel liegt, ferner so, dass derselbe innerhalb des Winkelraums und endlich in der Weise, dass der Kreis- mittelpunkt ausserhalb dieses Raumes liegt. Hat man nun die Behauptung für diese drei Bei- spiele erwiesen, so schliesst man hieraus induktiv auf die allgemeine Giltigkeit derselben. Diese Beispiele umfassen hier die sämtlichen möglichen Lagen der Winkel zu einander, ihre Auswahl beruht also— wie es bei dieser Beweisart häufig sein wird— auf einer voll- ständigen Disjunktion; die einzelnen Fälle ordnen sich dann diesen Disjunktionsgliedern unter.

So fusst dieser Beweis ebenfalls auf Axiomen und Lehrsätzen, aus ihnen schliesst er zunächst deduktiv auf die Giltigkeit der einzelnen Beispiele, und diese fasst er dann induktiv zusammen, um daraus das Allgemeine zu liefern..

Vielfach legt aber der Induktionsbeweis seinem Ausgange gar keine andern Urteile zugrunde, sondern er beruft sich auf die Anschauung. Beweise durch Anschauung möchte ich z. B. in denjenigen euklidischen Beweisen der Kongruenzsätze finden, in denen versucht wird, ob man, wenn das Dreieck A auf das Dreieck B gelegt wird, die beiden zur Deckung bringen kann. Ebenso würde es ein Beweis durch Anschauung sein, wenn Schopenhauer³) den pythagoreischen Lehrsatz für ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck durch den Hinweis auf eine einfache Figur andeutet. Diese erhält er dadurch, dass er über der Hypotenuse und den beiden Katheten dieses besonderen Dreiecks je das betreffende Quadrat nach derselben Seite hin— nicht, wie gewöhnlich, das über der Hypotenuse nach der entgegengesetzten Richtung— errichtet. Aus der Kongruenz der betreffenden Dreiecke folgt dann sofort der Lehrsatz. Freilich ist es ihm nicht gelungen, diesen Satz für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck ebenso anschaulich zu machen. Auf Grundlage der Anschauung hat Kosack⁴) die Geometrie aufzubauen gesucht. Schopenhauer kommt zu dem Ergebnis,„dass die Evidenz der Mathematik, welche zum Musterbilde und Symbole aller Evidenz geworden ist, ihrem Wesen nach nicht auf Beweisen, sondern auf unmittelbarer Anschauung beruht, welche also hier, wie überall, der letzte Grund und die Quelle aller? Wahrheit ist. Jedoch hat die Anschauung, welche der Mathematik zu grunde liegt, einen grosssen Vorzug vor jeder andern, also vor der empirischen. Nämlich, da sie a priori ist, mithin unabhängig von der Erfahrung, die immer nur teilweise und successiv gegeben wird, liegt ihr alles gleich nahe und man kann beliebig vom Grunde oder von der Folge ausgehen.“ Es würde zu

¹) ijber die Korrespondenz mit der zurickführenden Beweisform vergl. Knabe, a. a. O. S. 62.

2) III, 20.

³) Welt als Wille und Vorstellung, I, S. 87.

⁴) Programm des Gymnasiums zu Nordhausen, 1852. Man sehe Zeitschrift für m. u. n. UI. XVI, 187.