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Vielfach lässt sich nun ein solches, dem einzelnen wie dem allgemeinen Urteile gleich- mässig zukommendes Merkmal nicht finden, der allgemeine Satz lässt sich aber auch nicht deduktiv ableiten, dagegen bieten sich bei genauer Untersuchung des Subjektsbegriffes dem prüfenden Auge mehrere von den andern unterschiedene Fälle dar, unter welche sich alle übrigen unterordnen lassen. In einem solchen Falle wird man diese einzelnen Fälle heraus- greifen und an ihnen die Giltigkeit der Hypothesis nachweisen, um sie dann auf das Allgemeine zu übertragen, d. h. man wird zu dem Beweise durch Beispiele seine Zuflucht nehmen. Dass ein solcher Beweis im allgemeinen einen problematischen Charakter trägt, wird niemand zu leugnen imstande sein. Unterlassen wir daher den Nachweis zu liefern, dass und wie er in den empirischen Wissenschaften in der That angewandt wird, und beschränken wir uns auf sein Vorkommen in der Mathematik! Hier werden wir nun meist finden, dass die grund- legenden Sätze, die den eigentlichen Axiomen nahe stehen, durch dies Hilfsmittel erwiesen werden. So wird das Kommutationsprinzip der Addition aus der Anschauung einer beliebigen, aber endlichen Anzahl von Einheiten, welche die Summe bilden, erkanntl¹). So kann ferner auch der Satz, dass die Multiplikation zweier Zahlen a und b dasselbe Produkt ergiebt, in welcher Richtung man sie auch vornimmt, dass also a.b= b.a ist, nur dadurch bewiesen werden, dass man seine Richtigkeit an einzelnen Zahlenbeispielen nachweist. Von hier aus kann der nämliche Satz dann auf eine beliebige Menge von Zahlen ausgedehnt werden, indem man an einzelnen herausgegriffenen Beispielen zeigt, dass er für die Produkte von je zwei, drei oder mehr Zahlen giltig ist?).

Aber nicht nur zur Feststellung von solchen grundlegenden Sätzen, bei denen eine andere direkte Beweisform gar nicht angängig ist, sondern auch zum Nachweise anderer Be- hauptungen bedient sich die Mathematik mit Erfolg des Beweises durch Beispiele. Die Konvergenz der unendlichen geometrischen Reihe, deren Quotient der Bedingung genügt: — 1q=+ 1 beweist man, indem man in die Summenformel der Reihe für eine

.. 2— a2qu 1 endliche Anzahl von n Gliedern: Sn= 1— 4= a+ aqd+ aq...+ aqu, .. à aqu. 1. die man auch in der Form Sn= 1 1 L= schreiben kann, für q eine abso- 4 4

lute Zahl, die kleiner als 1 ist, sich eingesetzt denkt. Dann wird man für jedes dieser Bedingung entsprechende Beispiel immer sehen, dass das zweite Glied auf der rechten Seite bei wachsen- dem in mit abnehmendem Zähler immer kleiner wird und über jede Grenze hinaus abnimmt, wenn mn über jede Grenze hinaus zunimmt. Die Summe der Reihe

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nähert sich also um so mehr der festen Grenze 1 je grösser die Anzahl der Glieder — 9 3 1—.— 4 ¹) ist, und diese ist unbegrenzt; also ist die Summe der unendlichen Reihe= 1— —4.

Ein synthetischer direkter Beweis⁴) für diesen Satz steht diesem schon durch seine grosse Umständlichkeit und dadurch bedingte geringe Ubersichtlichkeit nach, während sonst nur indirekte Beweise geliefert werden.

1) Harnack, Elemente der Differential- u. Integral-Rechnung. S. 2. ²) Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, 2. Auflage, S. 2 u. 3. ³) Gallenkamp, die Elemente der Mathematik, II. Teil. S. 14.

4) Bolzano, Paradoxieen des Unendlichen. S. 25 u. s. w.