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Zu dieser Beweisform dürfte ein in der Mathematik häufig wiederkehrender Schluss zu rechnen sein, zu dem das folgende Beispiel die Erläuterung giebt. Ich beweise in der Trigonometrie den Satz, dass eine Dreiecksseite a sich zu einer andern b verhält, wie die

sinus der betreffenden Gegenwinkel, also a: b= sin«: sin β und schliesse hieraus sofort allgemein, dass die Dreiecksseiten sich überhaupt zu einander verhalten wie die sinus der ihnen gegenüberliegenden Winkel, also a: b:c= sin«: sin 5β: sin„. Freilich kann ich dies auch durch einen deduktiven Beweis erhalten, indem ich ja nur auf dieselbe Weise wie am Anfang nachzuweisen brauche, dass b:c= sin 5: sin„ gilt, woraus in Verbindung mit dem

ersten Ergebnis sofort das allgemeine Resultat hervorgeht. Aber die ganze Deduktion ist unnötig. Allerdings ist der zuerst erhaltene Satz nur ein specieller, aber es lässt sich aus ihm sofort das allgemeine Gesetz angeben dadurch, dass man ihn in einem wörtlichen Aus- drucke allgemein ausspricht. Berechtigt hierzu ist man unbedingt, da das Merkmal, auf dem der besondere Satz beruht, ja allen entsprechenden Sonderurteilen und mithin auch dem all- gemeinen zukommt.

Solcher Schlüsse kommen mit voller Berechtigung ausserordentlich viele vor, man hat nur darauf zu achten, dass man wirklich das entscheidende Merkmal bei Her- leitung des besonderen Satzes auffindet. Wie schwierig dies auch in den meisten Fällen sein wird, in der Mathematik bietet es sich fast von selbst dar. So schliesst man ebenso aus der Formel

a sin ½ sin ½ b sin ½ sin ½0⸗

=——— ꝙ auf die beiden andern speziellen Formeln 6=,— und c08 ½2. cos ½ 9 b sin ½ sin 1,273 9= und somit auf das algemeine Urteil¹). Die Sondersätze werden auch —.

hier erst deduktiv bewiesen, der allgemeine aber unmittelbar induktiv aus dem Merkmale ge- wonnen. Dennoch könnte man einwenden, dass dieser Nachweis kein eigentlicher Beweis, sondern nur ein einfacher Schluss der Induktion vom Besonderen auf das Allgemeine sei. Dem ist aber nicht so, denn nicht nur dieser letzte Schluss macht das Wesen unserer Beweisform aus, sondern auch schon der deduktive Beweis des Besonderen ist auf den folgenden Schluss eingerichtet. Die Behauptung wird allgemein ausgesprochen; da der Nachweis nun aber all- gemein nicht geleistet werden kann, suche ich mir das entscheidende Merkmal, vermittelst dessen ich einen einzelnen Fall nachweisen und dann daraus sogleich den allgemeinen er- schliessen kann. Bedeutend erleichtert wird diese Beweisform durch die zweckmässig gewählte Symbolik der algebraischen Zahlzeichen. Wie in der Theorie der Gleichungen die zweck- mässige Bezeichnung der Koeffizienten das zur Schlussweise so brauchbare Hilfsmittel der Determinanten begünstigt, so wird in der Geometrie besonders die sogenannte cyklische Ver- tauschung der Indices unsern Schluss wesentlich erleichtern.„Die Gedankenbewegung ist hier einfach, die erste Formel lässt eben das allgemeine Gesetz, obwohl sie an sich ja speziell ist, durch ein blosses Ubersetzen in einen wörtlichen Ausdruck ungemein leicht erkennen; das Allgemeine erscheint durch die praktisch gewählte Bezeichnung gleichsam unter einem so durchsichtigen Schleier, dass seine Züge sich dem Verständnisse klar darbieten.“ So wird ganz passend diese Beweisform als eine solche durch Analogie bezeichnet werden können, wenn man diesen Ausdruck aus seiner bisherigen Vieldeutigkeit befreien will.

Freilich bedarf das Aufsuchen des Merkmals besonderer Vorsicht, da sonst ja der ganze Nachweis verfehlt ist.

¹) Vergleiche hierzu: Preyer, a. a. O. S. 26,