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gefundenen. Daher gehört dieser Beweis doch seinem ganzen Wesen nach dem gemischten Verfahren an.

Der vollständige Induktionsbeweis hat in der Mathematik noch eine speciellere Form, den zuerst von Jakob Bernoulli formulierten(sonst auch nach Kästner genannten) Beweis von n aufn+ 1.

Die allgemeine Geltung des Binomialsatzes für einen beliebigen ganzzahligen Exponenten n

wird dadurch bewiesen, dass ich zeige: wenn(a+ b)n= au+ nau-ib+— an-² b²+ —.. 1 ...... gilt, dann auch sein muss:(a+ b) i= auti+(n+† 1) an b+ 6 4 2* an-1 b †

..... Entwickelt man nun anschaulich die Reihe für(a+† b)², so erhält man durch Anwendung dieser Schlussweise die Entwicklung für n= 3, n= 4, n= 5 u. s. w. und somit für alle ganzen Zahlen n, da ja jede ganze Zahl aus der vorhergehenden durch Addition von 1 entsteht.

„Erschiene die Form des Satzes in diesem Beweise nicht als ein Geschenk, von dem man nicht weiss, woher es kommt, so liesse sich gegen ihn nichts einwenden; logisch zwingend bleibt er immer“. ¹) 3 S

Seinem allgemeinen Gedankengange nach ist übrigens dieser inbezug auf n induktive Beweis gar nicht auf die Mathematik beschränkt. Sein Wesen besteht darin, dass man untersucht, ob nicht, wenn die Behauptung für einen bestimmten Fall erwiesen ist, sich zeigen lässt, dass in einem andern Falle die Bedingungen, unter denen die Behauptung im ersten Fall galt, gar nicht geändert oder stets von neuem wieder erzeugt werden. Will man also eine Be- hauptung annehmbar machen, so untersucht man zunächst einen Fall, in welchem dieselbe offenbar giltig ist. Kann man dann zeigen, dass die anderen denkbaren Fälle sich von diesem ersten durch nichts unterscheiden, was auf die Behauptung einen Einfluss ausüben könnte, so ist damit gezeigt, dass der Satz allgemein gilt. Freilich muss dieser zweite Nachweis überaus vorsichtig geführt werden, da er sonst sehr leicht zur Quelle des Irrtums wird. Häufig wird dieser Schluss mit dem unpassenden Namen eines Beweises durch Analogie benannt. ²)

In gewissem Gegensatze zu dem Nachweise durch vollständige Induktion steht der induktive Beweis durch ein Merkmal; denn in jenem untersuchten wir alle Fälle, in diesem nur einen einzigen.

Dieser eine Fall muss aber so gestaltet sein, dass er das Wesentliche der ganzen Erscheinung ausdrückt; kommt das Merkmal einer Sache und keiner anderen zu, dann— aber auch nur dann— kann man aus ihm auf die Sache selbst schliessen. In diesem Falle lässt sich jederzeit ein voller Syllogismus bilden, in welchem das Merkmal den Mittelbegriff darstellt. Demnach haben wir hier vielfach einen Kausalitätsschluss, der ja stets vorhanden ist, wenn ein bestimmter Vorgang regelmässig mit einem andern zusammen eintritt. Das Schlussverfahren im einzelnen ist deduktiv, sein ganzes Wesen jedoch induktiv, da zunächst die Feststellung des Merkmals auf der Induktion beruht und ferner auch der Schlusssatz eine durch Verallgemeinerung bedingte Induktion enthält. So schliesst man z. B. aus dem Merkmale des Fiebers auf das Vorhandensein einer Krankheit, vom Wetterleuchten auf Elektricität, von einem obliquen Kasus im Satze auf ein Regierendes, ferner aus versteinerten Gebeinen auf animalisches, aus Steinkohlen auf vegetabilisches Leben und dergleichen. ³)

¹) Frey.er, Beispiele aus der Math. zur Logik. Jahresbericht von IIfeld 1872. ²) Lotze, a. a. O. S. 285. ³) Hoffmann⸗Schuster, a. a. O. S. 39 und 40.