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Die Induktion beweist die Giltigkeit eines Gesetzes aus vielen Fällen, wir müssen daher erst viele— oder womöglich alle— Fälle kennen lernen, bevor wir die Induktion vollziehen können. Ein idealer Fall eines Beweises durch Induktion wird ein solcher sein, der wirklich alle möglichen Fälle umfasst; denn dann ist ein neuer Fall, der die Behauptung umstürzen könnte, nie zu fürchten.“) Und in der That werden solche Beweise vorkommen. Häufig wird es nicht möglich sein, einen Satz gleich auf einmal für alle Arten von Zahlen- grössen: ganze und gebrochene, positive und negative, rationale und irrationale, reelle und imaginäre zu beweisen, aber für jede einzelne können wir den Satz feststellen; dann wird, wenn wir sicher sind, dass keine andere Art von Grössen mehr denkbar ist, die Behauptung von allen Zahlen gelten.*) Ein solcher Beweis würde, die Vollständigkeit der disjunktiven Glieder vorausgesetzt, völlig zwingend sein, wenn er auch freilich keine Einsicht in den Grund des allgemeinen Satzes erschliesst. Kann man dann deduktiv die Richtigkeit der Behauptung in ihrer Allgemeinheit aufweisen, so wird damit auch der Grund derselben klargelegt. So beweist man in der Mathematik die Potenzgesetze, indem man sie zunächst an ganzen positiven, ferner an negativen und endlich an gebrochenen Exponenten als giltig zeigt und dann daraus schliesst, dass sie allgemeine Giltigkeit besitzen.
Der Schlusssatz eines solchen Beweises enthält also nur eine Summierung der einzelnen in den Prämissen aufgeführten Fälle; für diese selbst wird der Nachweis deduktiv geführt. Demnach wird ein solcher induktiver Beweis Allgemeingiltigkeit besitzen, wenn wirklich alle möglichen Fälle erschöpft sind, seine Beweiskraft beruht demnach wie die des disjunktiven Beweises auf der Vollständigkeit der Einteilung des Subjektes bez. des Prädikates. Viel häufiger kommt die Induktion in den empirischen Wissenschaften vor, wie im folgenden Beispiele: Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn haben Rotation (selbständige Achsendrehung)— dies sind die alten Planeten also haben die alten Planeten Rotation. Würden wir dann weiter schliessen, dass auch alle später entdeckten Planeten Rotation haben, so würden wir damit eine unvollständige Induktion ausführen. Mit dieser werden wir uns im Gebiete der empirischen Wissenschaften häufig begnügen müssen. Vielfach wird indessen dabei die Deduktion verwertet, sodass ein gemischtes Beweis-Verfahren.) entsteht. Will man z. B. nachweisen, dass die Schwerkraft und die Gravitation ein und dasselbeisind, so kann man auf folgende Art schliessen: Die Schwerkraft erteilt einem fallenden
Körper am Aquator eine Beschleunigung von 9,78 m. Da nun die Entfernung des Mondes
von der Erde 60 Erdhalbmesser beträgt, derselbe also 60 mal weiter von dem Erdmittelpunkte entfernt ist als ein Punkt des Aquators, so muss die Mondbeschleunigung 60 mal 60 oder 3600 malzkleiner sein als die Beschleunigung ceines an der Erdoberfläche fallenden Körpers, also= 9,78: 3600= 0,0027 m sein. Dieser Wert stimmt aber vollständig überein mit dem durch astronomische Beobachtungen abgeleiteten Werte der Beschleunigung des Mondes, so dass hieraus die Richtigkeit der Behauptung notwendig erhellt.
In dieser Darstellung würde unser Beweis zu der synthetischen Form gehören. Nun beruht aber sein Ausgangspunkt, wie die eingehende Prämisse der Mondentfernung auf der Induktion, und auch seine Giltigkeit gewinnt der Beweis nur dadurch, dass man den erhaltenen Wert in Übereinstimmung findet mit einem auf induktivem Wege
¹) Fliedner, Syllogismus und Induktion. S. 28. ²) Lotze, a. a. O. S. 284. ³) Wundt, a. a. O. II. S. 66.