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weit führen, hier genauer darauf, wie auf die Theorie St. Mills¹) über die mathematischen Objekte einzugehen. Soviel ist jedoch sicher, dass zur Evidenz einer Wahrheit ausser der Gewissheit auch noch die Fasslichkeit gehört²), d. h. die Eigenschaft, dass ein jeder, der den Beweis nur einmal begriffen hat, sogleich von der Wahrheit völlig überzeugt und so beruhigt sein muss, dass er nicht die geringste Widersetzlichkeit bei sich verspürt, dieselbe anzunehmen, und dass diese Fasslichkeit weit eher, durch die Anschauung als durch synthetische Beweise durch Kunstgriffe erzielt wird. Hierin ist auch der Grund dafür zu suchen, dass man so häufig bei einem, Beweise die Anschauung zu Hilfe ruft. So kann man z. B. durch Anschauung auf folgende Art zeigen, dass der Grenzwert des Quotienten sin X 3 3 4.....

— für X= 0 gleich 1 ist: Man konstruiert nämlich einen Kreissektor mit dem Radius 1

. X. 2 und dem Winkel x, dessen Inhalt demnach 6=—— ist. Fällt man nun von dem Endpunkte

des einen Radius auf den andern eine Senkrechte und errichtet in dem Endpunkte des zweiten ein Lôt auf demselben, so entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke d und ℳ, deren Inhalt sein

. 3 cos X sin X g X wird:=⸗-—, und 7=—. 2 2 — Für jedes x gilt nun offenbar, wie aus der Figur abzulesen ist:= G= 4 d. h. cos X sin X 5 tg X. X 1. 5— aber————— und mithin cos x=——. Ilieraus folgt je- 2— 2 S 2 sin X 608 X 81 J 1 sin X. 1, doch:———— cos x. Wenn nun X= o wird, so erhält— den Wert 1 und cos X= xX— 08 X . 1 sin X 3 1 cos X denselben Wert 1, sodass gilt: 1—— 1, woraus sich ergiebt: — X r=o sin X un S)=1. X X=o

Freilich ist auch hier die ganze Herbeischaffung der Anschauung ein Kunstgriff, aber aus ihm erhält man dann auf die einfachste Weise das Ergebnis. Weil solche Schlüsse aus

der Anschauung leichter fasslich sind, als durch vielerlei Schlussfolgerungen— wenn auch häufig nicht so streng— so ist man mehr und mehr in der neueren Mathematik

dazu übergegangen, die Anschauung zu benutzen. Seit Gauss die imaginären Zahlen auf der Ebene aufzeichnete, ist man in Darstellungen des Verlaufs von Funktionen weiter fortgeschritten bis zu Mannigfaltigkeiten höherer Ordnung. Aber diese Methode der anschau- lichen Darstellung ist auch in den empirischen Wissenschaften ausserordentlich gebräuchlich geworden, wozu das wichtige Hilfsmittel der Koordinaten-Geometrie Veranlassung bot. Nicht nur der Naturwissenschaftler jeder Art, sondern auch der Statistiker und der Arzt bedient sich dieser so leicht zu übersehenden Darstellung, um den Verlauf eines Vorgangs festzuhalten und mitzuteilen.— Freilich ist damit noch nicht gesagt, dass jeder Beweis durch Anschauung hinreichende Strenge besitze, vielmehr dient er häufig nur zur vorläufigen Erklärung der Behauptung.

¹) System der deduktiven und induktiven Logik, deutsch von Schiel. ²) Mendelssohn, Evidenz in metaphysischen Wissenschaften.