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sodass gilt: AB:AC= A0: CB, und wenn sie über A hinaus um AD= AC verlängert wird, so ist die zusammengesetzte Linie DB in A ebenfalls nach dem goldenen Schnitte geteilt(BD: BA = BA:AD). Der analytische Beweis geht von der Giltigkeit dieser Proportion aus und schliesst, da AD= AC ist, auf BD: BA= BA:AC. Hieraus gewinnt er durch einen vorangegangenen Satz BD:AD= BA:BC und hieraus weiter BA: AD= AC: BC. Da nun AD= AC ist, so folgt BA: AC= AC: BO, wie vorausgesetzt war. Im synthetischen Beweise geht Euklid dagegen von der Voraussetzung aus und verwendet in genauer Umkehrung der Reihenfolge dieselben Sätze, die ihn dann schliesslich zur Behauptung führen. Der analytische Beweis geht also genau den entgegengesetzten Weg wie der synthetische, er benutzt in gleicher Weise dieselben Sätze wie dieser und besitzt daher genau dieselbe Bündigkeit. Er erschliesst also rückwärts die Gründe, auf denen die Behauptung beruht, und bewirkt hierdurch eine Einsicht in das Entstehen derselben.

Die analytische Beweisform bedient sich nun mit besonderer Vorliebe der algebraischen Symbolik, indem durch dieselbe Sätze und Gesetze ausgedrückt und aus diesen durch statthafte Operationen andere Sätze abgeleitet werden können. Es ist das ausserordentliche Verdienst Descartes', diesen Weg gangbar gemacht zu haben. Als Beispiel aus der analytischen Geometrie mag uns der Satz¹) dienen: Eine Gleichung, in welcher ausser einem Ausdrucke erster Ordnung von x und y noch x* und y? mit demselben Koeffizienten behaftet vorkommen, also eine Gleichung von der Form: ax?+ ay?+ bx+

ey+† d= o stellt im allgemeinen einen Kreis dar. Wir schliessen, indem wir von der Behauptung ausgehen: Stellt die Gleichung ax?+ ay?+ bæ+ cy+† d= o einen Kreis dar, so muss dieselbe sich auf die Form bringen lassen:(X— p)“+(y— q)?= r,z in welcher p und q die Koordinaten des Mittelpunkts under der Radius ist. Dividieren wir zunächst die .. 1 d. Gleichung durch a, so gewinnen wir Xαε+ y²* X+ 4.+ 2 0, und hieraus kann . b)*² cI2 b c² d b2+ e?²— 4 ad. man erhalten:( 3(» P 24)= ar r.= 1„wie man

durch Ausführung der angedeuteten Rechnungen leicht bestätigen kann. Wir haben somit die gewünschte Form erlangt und sehen hieraus, dass alle Punkte, welche unsere Gleichung b

befriedigen, in der That auf einem Kreise liegen, der um den Punkt(— 22

„— 25) mit dem

V bz+ c*— 4ad 2a Aus diesem Beispiele geht hervor, dass durch den analytischen Beweis auch ein gewisser Einblick in die Entstehung des Urteils gewährt wird. Aber dies ist nicht bei allen der Fall; bei manchen Beweisen gelangt man vielmehr durch eine Analysis in rechtmässigem Schlusse zu einer Identität, die uns dann nur erkennen lässt, dass der Satz, von welchem wir ausgegangen sind, richtig ist, aber nicht warum. Wir wollen dieselben analytische Beweise

a+ b a 4. i m m wird meist dadurch bewiesen, dass man, von ihrer Giltigkeit ausgehend, auf beiden Seiten mit m

multipliziert und hierdurch(*) m—+ n.) m d. i. a+† b= u m+†. 1. m

Radius r= beschrieben ist.

durch Identität oder identische Beweise nennen. Die Behauptung

¹) Joachimsthal, Elemente der analytischen Geometrie der Ebene. Seite 29.

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