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einem solchen die meisten euklidischen Beweise auffallend ähnlich. Fast immer kommt die Wahrheit durch die Hinterthür herein, indem sie sich per accidens aus irgend einem Neben- umstand ergiebt.“¹*) Diesen Mangel finden wir auch bei dem disjunktiven Beweise²) und— wie wir später sehen werden— bei dem induktiven. Nun sind aber dergleichen Beweise synthetischer Art ausserordentlich zahlreich. Es sei nur kurz an den euklidischen Beweis für den pythagoreischen Lehrsatz erinnert. Durch ein ganzes System von Hilfskonstruktionen, welches einfach auswendig gelernt werden muss, führt man diesen Satz auf den früheren Lehr- satz zurück, dass ein Dreieck die Hälfte eines Parallelogrammes ist, mit dem es gleiche Grund- linie und Höhe besitzt. Durch geeignete Addition gewinnt man dann hieraus die Behauptung. Nun ist sicher, dass wir uns in vielen Wissenschaften nicht einfach mit der Thatsache begnügen können, dass etwas so ist, vielmehr ist zu wirklichem Wissen, z. B. der physikalischen Lehren, unbedingt nötig zu erkennen, weshalb es so ist. Fragen wir in der Mathematik bei diesen synthetischen Beweisen durch Kunstgriffe nach dem Warum, so können wir darauf keine bündige Antwort geben. Gerade dieses Beispiel ist daher schon öfter behandelt worden, so auch von Schopenhauer, der(S. 87) durch eine einfache Figur anschaulich die Giltigkeit des Satzes für einen Specialfall lehrt.

Hierauf beruht auch die vielfache Unzufriedenheit mit den mathematischen Beweisen und der Ruf nach grösserer Benutzung der Anschauung. Werden doch z. B. Kongruenz- sätze der Dreiecke stets durch die Berufung auf die unmittelbare Anschauung klar gemacht. Immer führt man ihre Wahrheit darauf zurück, dass unter den gestellten Voraussetzungen das eine Dreieck von dem andern vollständig gedeckt wird. So hat besonders Bernhard Becker als den grössten Fehler Euklids den schon von Herbart gerügten hervorgehobend), dass von jeder Thesis nur die Richtigkeit nachgewiesen werde, während der innere Zusammen- hang der nachgewiesenen Wahrheiten, aus dem ihre Notwendigkeit hervorgeht, unerörtert bleibt. Deshalb tadelt auch Schopenhauer mit scharfen Worten die euklidische Methode und verlangt besonders,„dass man das Vorurteil aufgebe, die bewiesene Wahrheit habe irgend einen Vorzug vor der anschaulich erkannten“. Allerdings dürfte es sehr schwer sein festzustellen, wo die Grenze der„anschaulich erkannten“ und der„bewiesenen“ Wahrheit anzunehmen ist. So stellt Euklid den Satz ⁴):„Alle rechten Winkel sind einander gleich“ als Grundsatz auf, Legendre behandelt ihn wie einen Lehrsatz und beweist ihn demnach, C. J. V. Hoffmann leitet ihn als besondere Anwendung aus dem allgemeinen Grundsatze: „Jede Grösse ist sich selbst gleich“ ab. Mit Recht hält es Hubert Müller⁵) für falsch, dass dem Satze:„Wenn die Summe zweier anstossenden Winkel gleich zwei Rechten ist, so sind diese Winkel Nebenwinkel, d. h. ihre nicht gemeinsamen Schenkel bilden eine Gerade“ von Kambly der euklidische Beweis beigegeben wird, denn der Satz ist für uns sofort anschaulich klar: Zwei solche Winkel bilden zusammen einen gestreckten Winkel, und dessen Schenkel fallen selbstverständlich in eine Gerade. Diese Beweismanie ist besonders zu tadeln, wenn sie auf synthetische Weise vermittelst Kunstgriffe ihr Ziel finden will.

¹) Schopenhauer, die Welt als Wille u. Vorstellung, I. S. 83.

²) Knabe, a. a. O. S. 35 ff.

³) J. C. Becker, zur Methode der Geometrie.

4) Siehe Zeitschrift für mathem. und naturw. Unterricht. III, S. 136 u. 541.

*¹) Hubert Müller, besitzt die heutige Schulgeometrie noch die Vorzüge des euklidischen Originals? S. 3.