Bei dieser Art der Beweise verbindet sich also mit der strengen logischen Not- wendigkeit der Ableitung der Behauptung auch zugleich die Einsicht in das Wesen derselben; man sieht die Thesis vor sich Schritt für Schritt entstehen. Aus der Voraussetzung zieht man die notwendige Folge, die uns nun sofort zum Beweisgrunde für die Behauptung dient, oder man vollführt die in der Voraussetzung oder in dem soeben erledigten Satze angegebene oder angedeutete Konstruktion und liest hieraus einfach die Behauptung ab. Somit verbindet diese genetische synthetische Beweisform mit der strengsten, bündigsten Nachweisung des „Dass“ auch zugleich die Angabe des„Warum“. Dies sehen wir auch noch ganz besonders an dem Beweise des folgenden Satzes: Eine Reihe, deren Glieder alternieren, abnehmen und die Null zur Grenze haben, convergiert stets. Beweis: Die Reihe sei uo ut us.... Un Un†i. Konvergent wird eine unendliche Reihe sein, wenn sich zu jeder noch so kleinen Zahl d eine Stelle finden lässt, von der ab der Betrag des Restes der unendlichen Reihe Ra kleiner bleibt als d, also z. B. auch= O ist.

Ich bilde daher die Summe unserer Reihe¹) vom nten Gliede an: Ra=(un— untu)+

(un+2— un s) †+†...., die ich auch in folgender Form schreiben kann: Ra= un— (un+1 un 4 ²2)—(uns— un. 1)—.... Diese Summe hat nun aber gemäss einer vorauf-

gehenden Untersuchung das Vorzeichen des ersten Gliedes; mithin ist Ra zunächst positiv, weil un das Vorzeichen.+ besitzt; ferner ist Ra auch, wie man unmittelbar sieht, kleiner als un- Die Summe Ra ist also abhängig von un, nur= un. Wird also, wie vorausgesetzt ist, mit wachsenden Werten von n das Glied un die Null zur Grenze haben, so hat auch die Summe Ra die Null zur Grenze, d. h. aber: unsere vor- liegende Reihe konvergiert. Weil also die Summe Ra, auf welche es bei der Kon- vergenz ankommt, abhängig ist von dem Gliede un, so ist unsere Behauptung richtig. Es ist also in der That gezeigt, nicht nur dass, sondern auch, warum unser Satz richtig ist.

Nicht so ist es bei einer andern Art der synthetischen Beweisform. Betrachten wir z. B. folgenden Beweis²): An jedem Dreiecke ABC ist, wenn man eine seiner Seiten BO ver- längert, der Aussenwinkel ACD grösser, als jeder der beiden innern ihm gegenüberliegenden Winkel. Zum Beweise halbiert Euklid AC im Punkte E, verbindet E mit B und verlängert BE über E hinaus bis F um sich selbst und verbindet F mit C. Aus dieser Hilfskonstruktion folgt nun sofort, dass BE= EF und AE= EC und ferner= AEB= FEC ist, mithin muss auch+‿ BAE= EOF sein, da die Dreiecke ABE und CEF kongruent sind. Nun ist aber + ACD= ECP, da ECF nur ein Teil von ACD ist, woraus+‿ ACD BAE ge- schlossen wird, w. Zz. b. w.

Hierdurch ist in der That die Behauptung streng erwiesen, aber es ist durchaus nicht einleuchtend, warum dieselbe statthat. Ganz erstaunt sieht man, wie zunächst eine Dreiecks- seite, von der in dem Satze gar nicht die Rede ist, halbiert wird; auch die übrigen Konstruktionen verraten durchaus nicht ihren Zweck. Erst wenn alle diese so ganz will- kürlichen(scheinbar) Vorbereitungen getroffen sind, und wenn aus ihnen die logischen Fol- gerungen gezogen sind, da sieht man plötzlich— zu nicht geringem Erstaunen—, welchen Zweck dieselben hatten. Jetzt endlich— nachträglich— erkennt man, dass die Hilfskonstruktionen Wege waren, auf denen das Beweismaterial herbeigeschafft werden sollte.„Man hat daher fast die unbehagliche Empfindung wie nach einem Taschenspielerstreiche, und in der That sind

¹) Harnack, Elemente der Differential- und Integral-Rechnung. S. 83. ²) Euklid I, 16.