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§ 4. Der deduktive Beweis.

Von alten Zeiten her ist der synthetische Deduktionsbeweis angewandt und geschätzt worden, d. h. das Verfahren, in welchem man zeigt, dass dem Subjekte S eines Satzes T das Prädikat P zukommt, indem S einem allgemeineren Begriffe untergeordnet und somit vom Allgemeinen auf das Besondere oder von dem Gyrunde auf die Folge geschlossen wird. Somit schliesst sich diese Form genau der Form des Subsumptionsschlusses an und wurde wie der Subsumptionsschluss selbst in älterer Zeit besonders bevorzugt. So ist das euklidische Demonstrationssystem fast ganz auf diese Beweisform gegründet. Die Elemente der Geo- metrie beginnen daher mit Erklärungen, Forderungen und Grundsätzen und gehen dann dazu über, die einzelnen Sätze auf dieselben zu gründen; für die Anordnung derselben ist nur der Grundsatz massgebend gewesen, dasjenige vorauszustellen, was zur richtigen Einsicht des folgenden dient. Ein schönes Beispiel des Zusammenhanges eines Satzes mit dem vorher- gehenden, der Entstehung eines Urteils aus dem soeben erkannten liefert z. B. der Satz!): Parallelogramme auf gleichen Grundlinien und zwischen denselben Parallelen sind einander gleich. Ihm ist unmittelbar vorausgegangen die Erkenntnis der Wahrheit, dass Parallelogramme auf derselben Grundlinie und zwischen denselben Parallelen einander gleich sind. Haben wir also jetzt zwei Parallelogramme mit getrennt liegenden, aber gleichen Grundlinien, so ist es natürlich, dass wir zur Hilfskonstruktion ein Parallelogramm einführen, das mit jedem unserer gegebenen die Grundlinie gemeinsam hat; dies geschieht dadurch, dass wir die Endpunkte der Grundlinie des ersten Parallelogrammes A mit den Endpunkten der gegenüberliegenden Grundlinie des zweiten B verbinden. Hierdurch erhalten wir das Hilfsparallelogramm O, das sowohl A als auch B nach dem vorigen Satze gleich ist; daraus folgt aber, dass A und B unter einander gleich sind. Bei diesem Beweise ist die Konstruktion eine naturgemässe, auf dem vorigen Satze notwendig beruhende; daher ist man wohl berechtigt, denselben genetisch zu nennen. Noch mehr tritt diese genetische Ableitung eines Satzes²) hervor bei dem Nachweise, dass in jedem Dreiecke die Summe zweier Seiten grösser als die dritte ist. Hier weist uns schon das Subjekt unseres Urteils selbst auf die Herstellung des Beweisgrundes hin. Das Subjekt sprieht von der Summe zweier Seiten, daher müssen wir in der Herstellung derselben not- wendig das Beweismaterial zu unserer Behauptung finden. Verlängere ich daher die Seite BA des Dreiecks BAC über A hinaus um AD=AC und verbinde D mit O, so ersehe ich sofort, dass der Winkel BCD= ADC ist; hieraus folgt nach dem vorangehenden Satze, dass BD d. i. aber nach unserer Konstruktion BA+ AC ½ BC ist, was zu beweisen war.

Haben wir ferner uns über die Wahrheit folgender Behauptung):„Eine quadratische und eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten haben für jede Unbekannte zwei gemeinsame Wurzeln“ schlüssig zu machen, so thun wir es ebenfalls dadurch, dass wir aus der Voraussetzung heraus die notwendigen Folgen genetisch ableiten. Wir schliessen: Substituiert man den Wert einer Unbekannten aus der linearen Gleichung in die quadratische, so erhält man eine quadratische Gleichung für die andere, und hieraus folgt die Behauptung, oder auch: Eliminiert man eine Unbekannte aus beiden Gleichungen, so ist die Resultante eine quadratische Gleichung für die andere Unbekannte, woraus sich ebenfalls die Thesis ergiebt.

¹) Euklid I, 36. ²) Euklid I, 20.. ³) Heilermann und Diekmann, Lehr- u. Ubungsbuch für den Unterricht in der Algebra II. Teil S. 91.