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während er ihn im zweiten Falle auf theoretischem Gebiete zur Empfehlung einer Hypothese für hipreichend hält, ihm aber sein eigentliches Anwendungsgebiet im praktischen Leben zuweist. Endlich dient er nach Schirmeister¹) zur Auffindung der Lösungen bei den sogenannten Aufgaben. Von dieser Beweisform ist die erste direkt regressive nicht erheblich verschieden. Dieselbe geht von der angenommenen Giltigkeit von T aus und sucht nach rückwärts die Bedingungen auf, unter denen diese Giltigkeit stattfinden kann; man muss also auch hier, wie bei der vorigen Form, T als Erkenntnisgrund behandeln und aus ihm die zur Geltung von T nötigen Vorbedingungen als Folgen ableiten. Aber„etwas Anderes als die Ungiltigkeit von T kann er nicht liefern; er bleibt also eine Form der Widerlegung“. Dieser wie der vorige Beweisgang nimmt also einen analytischen Ausgang, indem er von der Giltigkeit der Thesis ausgehend weiter schliesst. Führt nun der Rückschritt von T auf lauter zulässige Voraussetzungen, so muss man noch immer zweifelhaft sein, ob wirklich aus T alle Denkfolgen erschöpfend abgeleitet sind. Daher kann diese Form nur zur Begründung einer Wahr- scheinlichkeit von T hinführen; in der Mathematik dagegen können wir aus einer gestellten Aufgabe alle zu ihrer Lösung notwendigen Vorbedingungen entwickeln, folglich könnte man auf diese Weise die Beweisgründe ausfindig machen. Durch die Ordnung derselben bis zur Schlussfolgerung der Giltigkeit von T erhält man dann die erste direkt regressive, d. h. unsere induktive Form. Freilich giebt es auch in der Mathematik— besonders in der neueren— viele Beweisgänge, die von der Giltigkeit von T aus schliessend zur Voraussetzung oder zu anerkannten Sätzen und Axiomen zurückgelangen und somit der zweiten Lotze'schen Form angehören. Dies werden unsere deduktiven analytischen Beweisformen kategorischer Art sein, während sie in anderen Wissenschaften nur hypothetischer Natur und daher meist keine eigentlichen Beweise der Giltigkeit von T sein werden. 4

Die zweite direkt regressive Beweisform, die von gegebenen Sätzen ausgeht, um aus ihrer Giltigkeit diejenige von T als ihrer erzeugenden Bedingung zu beweisen, ist der induktive Beweis, wie schon daraus hervorgeht, dass wir in ihm von gegebenen Thatsachen die Bedingung gewinnen, die zur Möglichkeit dieser Thatsachen angenommen werden muss. Allerdings dient diese Schlussweise meist dazu, ein noch unbekanntes T aus dem Gegebenen zu ermitteln, während, wenn T gegeben ist, meist eine progressive Entwicklung von T nötig ist, um es zu erweisen. Wir werden daher auch sehen, dass der induktive Beweis meist auch eine synthetische Deduktion in sich enthält. Als Unterarten dieser Beweis- form bezeichnet denn auch Lotze die vollständige Induktion oder den kollektiven Beweis, ferner den Beweis von n zun+ 1 und endlich den sog. Beweis durch Analogie. Denkt*) man sich nun symbolisch unter G die Beweisgründe von dem zu erweisenden Satze T und unter F seine notwendigen Folgen, sodass G-T-F die Richtung vom Grunde zu den Folgen darstellt, so werden die beiden progressiven Arten sich unter dem Bilde G-T und T-F, die regressiven dagegen durch T-G und F-T vorstellen lassen. Aber der Beweisgang T-F und im wesentlichen auch T-G führt nur zur Beurteilung der Giltigkeit oder Ungiltigkeit eines Satzes und zur Auffindung der Beweisgründe, indessen nicht zu einem eigentlichen Beweise, so dass wir von dieser Einteilung nur die 1. und 4. Form, nämlich unsere deduktiven und induktiven Beweise, beibehalten können.

¹) A. a. O. Seite 6. ²) Schirmeister, a. a. O. S. 6.