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5. 4....... geschätzt, weil er nicht nur zeigt, dass die Behauptung gilt, sondern auch, warum dieselbe statthat. Dass dies übrigens nicht überall der Fall ist, wird später erörtert werden. Aus

dieser Wertschätzung aber folgt, dass wir überall— in allen Wissenschaften sowohl wie, im praktischen Leben— den direkten Beweis zahlreich angewendet finden. In der Haupsache

werden wir uns auf seine Anwendung in der Mathematik beschränken, weil in dieser Wissenschaft ja von altersher das Beweisverfahren am deutlichsten ausgeprägt und daher einer Untersuchung am besten zugängig ist. Stellt uns doch Euklid in seinen Elementen ein hinsichtlich der Beweis- führung und Folgerichtigkeit nicht zu übertreffendes Muster vor!

Untersuchen wir nun zunächst, in welcher Weise der direkte Beweis verfährt, so finden wir gleich in seinem Ausgangspunkte Verschiedenheiten. Soll der Satz T bewiesen werden, so kann dies entweder dadurch geschehen, dass man auf die zu grunde liegenden Sätze zurück- geht und von diesen aus deduktiv zur Giltigkeit von T gelangt, oder man zerlegt T in seine Arten und schliesst aus deren Giltigkeit auf die Richtigkeit des allgemeinen Satzes T. Im ersten Falle beweist man deduktiv, im zweiten in duktiv. Der Deduktionsbeweis kanm aber wieder auf zwei Weisen geführt werden; gehen wir nämlich von allgemeinen Sätzen aus und entwickeln dieselben, bis wir auf T als einen besonderen kommen, so verfahren wir synthetisch, analytisch dagegen, wenn wir von der Behauptung T ausgehend die Richtigkeit ihrer Folge- rungen und damit ihre eigene zeigen. Der induktive Beweis dagegen wird sich häufig aus einer Anzahl von Deduktionsbeweisen zusammensetzen und aus ihnen dann die Giltigkeit der Thesis erschliessen. Bei demselben wird es also— wie beim disjunktiven Beweise— darauf ankommen, eine vollständige Zerlegung der Thesis aufzustellen, damit alsdann der Induktions- schluss berechtigt ist. Der deduktive Beweis geht also im wesentlichen von dem Grunde auf die Folgen, wäührend der induktive den umgekehrten Weg einschlägt.

Beide führen aber schliesslich auf Grundsätze, sei es solche, die auf der An- schauung a priori oder solche, die aut der Erfahrung beruhen. Daher ist es be- sonders wichtig, diese zunächst zu prüfen. Iierzu bietet die Logik eigentlich nur das eine Mittel, nämlich die Deductio ad absurdum. Haben wir einen Satz T, der uns denk- notwendig erscheint, so müssen wir versuchen, ob das kontradiktorische Gegenteil von T uns undenkbar erscheint. Häufig muss man hierzu dies non-T in seine Folgen zu entwickeln suchen, um auf eine völlig ungiltige zu stossen. Da man somit zur Untersuchung der Giltigkeit von Principien häufig sich der logischen Formen bedient, so ist man darauf verfallen, für die Erkenntnis der Principien den indirekten Beweis in Anspruch zu nehmen. In der That aber handelt es sich hier meist nicht um einen Beweis, sondern nur um eine Erläuterung des Axioms. Ferner werden wir nach Lotze,¹) bevor wir an den Beweis eines Satzes herantreten, vorher untersuchen, ob derselbe einen Beweis verdient. In drei Fällen wird dies nicht der Fall sein, nämlich 1) wenn sein Inhalt ein unvollständiger und deshalb unbestimmter Gedanke ist, 2) wenn ein im Satze enthaltener Begriff eine nachweisbar unmögliche oder eine nicht nach- weisbar giltige Vorstellungsverknüpfung enthält, oder endlich 3) wenn man sich nicht einige vorlüufige Bürgschaft für die Geltung des Satzes verschafft hat.

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¹) Logik II, Seite 273 ff.