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mit dem Punkte y. Der Schnittpunkt dieses Paares, d. i. der dem Punkte doppelt kon- jugierte Punkt, hat die Koordinaten (Anlazas, C1?, G*13), liegt mit auf einem Strahle aus y und bildet mit ihm ein Paar harmonischer Pole in Bezug auf den Polkegelschnitt. Das Paar der irgend einem Punkte a in beiderlei Sinne entsprechen- den Geraden wird deshalb gefunden dadurch, daſs man den Schnittpunkt des Strahls(a, y) und der Polare des Punktes in Bezug auf den Polkegelschnitt verbindet mit den Punkten und x. Die beiden irgend einer Geraden a in beiderlei Sinne entsprechenden projektivischen

Strahlenbüschel (azyi+ Ana ys)+ agasy= O und zaz yi+ s(aay+ Analy²)= 0, mit den Mittelpunkten(ys= y= 0) und(yi= y⸗= 0) und dem gemeinschaftlichen Strahl (i= 0), der deshalb als jeder Geraden der Ebene doppelt konjugiert erscheint, erzeugen als Schnitt homologer Strahlen den dem Fundamentaldreieck umbeschriebenen Kegelschnitt

Aaiy+ aey y= † asy ys= 0. Derselbe zerfällt in ein Geradenpaar, wenn

Ailalazag= 0,.

sobald also die Gerade a durch einen der drei Fundamentalpunkte geht, und zwar in die Geraden

yi= 0 und azye+ asys= 0,.

ys= O und Allaye+ azy= 0 oder

yz== O und Alalys+ azyt= 0, je nachdem a durch den Punkt y, z oder d geht.

In jedem der drei Fälle erscheint auſser der der betreffenden Geraden doppelt konjugierten noch eine Gerade durch den entsprechenden Eckpunkt des Fundamentaldreiecks, so daſs die fraglichen Büschel in perspektivische Lage kommen.

Aus der transformierten Gleichung geht hervor, daſs allen Punkten der Geraden c(y= 0) im ersten System alle Punkte der Geraden t(ys= 0) und im zweiten die der Geraden s(ye= 0) zugeordnet sind; man kennt demnach auf jeder Geraden zu zwei Punkten die ihnen im anderen System konjugierten Strahlen. Uberdies entsprechen den Schnittpunkten jeder Geraden mit dem Polkegelschnitt die aus ihnen durch die Punkte o und r gezogenen Strahlen im ersten, resp. zweiten System. Hiermit sind die für diesen Fall charakteristischen Beziehungen zwischen dem Polkelschnitt, dem ausgezeichneten Dreieck und den einander zugeordneten ebenen Grund- gebilden gegeben.

Wenn man, statt von einer Gleichung in Punktkoordinaten auszugehen, eine solche in Linienkoordinaten zu Grunde gelegt hätte, so wäre für 4= 0 der Polkegelschnitt und nicht der Polarkegelschnitt zerfallen. Es hätte sich dem entsprechend auch nicht ein Paar singulärer Punkte, sondern ein Paar solcher Geraden ergeben.

§ 15.

Die Beziehung wird aber auch singulär, wenn D+4= 0, weil unter dieser Voraussetzung die beiden Kernkegelschnitte zerfallen. Die Punkte ο und z koincidieren alsdann mit dem Doppelpunkt