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so daſs man den Punkt

(4 An— 7¹*, 2(Ais+ Aai)— Ji², 2(Ais+ Aun)— v1Ta) als doppelt zu zählenden Punkt erhält. Es ist dies, wie schon früher bemerkt wurde, der Doppelpunkt des alsdann in ein Geradenpaar zerfallenden Polkegelschnitts.

§ 14.

Nach den in§ 12 aufgestellten Identitäten muſs, wenn A verschwindet, entweder bes oder baz= 0 werden. In der That ist, sobald man den Punkt(Air, Al, Asl) als zweiten und den Punkt(Aii, Aiz, Aus) als dritten Fundamentalpunkt annimmt, für 4= 0

bas= Nairio= 0(cfr.§ 9). Ferner erhält man bz?= NaixtkOi —(auAui+ ais Ae+ ais A) Ann+(aer Ann+ aus Azl+ azs Ai) Ai⸗ +(as Ain+ ase Aei+ ass A1) Ais.

Hierin kann man aber, weil 4= 0 ist, anAn=—(azi Ai+ as1 Al), ag2 Agl=—(ais Aui+ as? As1) asAg=—(ais Aui+ 223 Al), AiAis= AuAzs und Ai Asl= AirA⸗ setzen, so daſs der Ausdruck übergeht in bge=— AlI Tei7i.

Für diese Transformation ist demnach die Substitutionsdeterminante S= bas— bae= Al ei)i, wie sich überdies leicht direkt durch Entwickelung der Determinante

71 Aul AlI V 8=— 7² Aar Ai2 73 Aa1 A3

nachweisen läſst, wenn man nur die oben für 14= 0 aufgestellten Identitäten benutzt. Da sich endlich unter der gemachten Voraussetzung Ycry auf— D reduciert, hat man in der trans- formierten Gleichung bu=— D, bas= 0 und baz= AuD

zu setzen, so daſs dieselbe erhalten wird in der Form

yiy— Au ys y2= 0. Zufolge dieser Gleichung entspricht jedem Punkte der Ebene im zweiten System ein Strahl durch den Punkt(y= yz= 0) und im ersten ein solcher durch den Punkt(ys= y= 0), weshalb diese beiden Punkte als die Doppelpunkte der Beziehung bezeichnet worden sind.

Das Paar der irgend einem Punkte a in beiderlei Sinne zugeordneten Geraden

a. 1— AIId*y⁸=0

iy— Aldsy= 0 wird, wie im allgemeinen Falle, harmonisch getrennt durch die Polare

2 ly)— Ai(deys+ sy²)= 0

des Punktes in Bezug auf den Polkegelschnitt

yi— Anyzys= 0 und seine Verbindungslinie

aeys— s.y= 0