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und für die Koordinaten der gesuchten Punkte die Verhältnisse Au+ 0(2 a22ag— a232— 232²)+ 02 An: Aiz+ 0(ausais— a212233— 232231— 221 433)+ 0²2 A2r : Ais+ 0(algase— a2213+ aula2s— 222a31)+ 0²A = Au+ 0[(Aui+ A¹)—(azs— ag2) ²)+ 0lAn: Aia— Ol(Ais † A1)—(aas— asz)(Asl— aus)]+ 0Ae⸗ : Ais+ 0(Ais+ A31)—(aas— a32)(a12— a21)]+ 0²2 An(efr.§ 5) =(1+ 0)(Au+ 0An)— 071²:(1+ 0)(Ai⸗* 0Kal)— Oyi:(1+ 0)(Ais+ 0AsI)— Ofiy. Trägt man hierin für O die oben angegebenen Werte ein, so erhält man die gesuchten Koordi- naten, die in S eingesetzt, dessen Wert als Funktion der au liefern. Wählt man hierzu die Determinantenform von S und zerlegt nach den Elementen der zweiten und dritten Kolonne, so verschwinden drei der entstehenden Determinanten und es bleibt nur übrig

71 AuI+ 01Aun Au+ 02 An S= 72 Als+ 0Agi Ala+ 0⸗Aai 73 Ais+ 01Ann Ais+ 02 A1

Zerlegt man nun nochmals, so erhält man

(1+ 00)(1+ o⸗).

71 Ai AuI 8= 7, Au Au(1+ ei)l1+.Go.— 0u). ) Ars A3 Da endlich D— 4 D— 31 (1+ 00)(1+ 02)= 1+o+†+ 0102= 2— 7—-— und 61—= 11„» so ergiebt sich A1; Ait 8= DereeE an a ys Ais A3l

Die in diesem Ausdruck für S auftretende Determinante ist„, da sie nur abhängig ist von der Wahl der zur Bestimmung von ο und z nötigen Gleichungen und mit diesen eine andere wird, auf das allgemeine Verhalten von S ohne Einfluſs; ihr Verschwinden bedingt besondere Lagen- verhältnisse des zu Grunde gelegten Fundamentaldreiecks, so z. B. das Zusammenfallen der ersten Fundamentalseite mit der Geraden c für Als= Azi und Ais= Aal oder mit einer der Geraden s und t für Ai= 0 und ass= aa, weil sie alsdann durch den Punkt y geht und ihr in beiderlei Sinne derselbe Punkt entspricht(cfr.§ 4).

Die Substitutionsdeterminante verschwindet demnach, wie schon oben festgestellt war, wenn

D+A4= O oder D— 314= 0.

In beiden Fällen ist

D— 4 91= 6 7 7). also auch 1+ l= 1+=— D 34. Dieser Wert verschwindet, wenn D— 34=0, und liefert den Punkt y als dreifach zu zählenden Punkt; ist dagegen D+ 4= 0,

so wird 61=(2= 1,