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Nun ist die Determinante der transformierten Form[f]

bi bi bis Ai 212 213 d ire AI= bai bz bes= V A2r à2e ae.(lel dee es„, ba be bs 2si e 33 A.s ee

denn nach dem Satze über die Multiplikation der Determinanten ist

X₰X* a11222a33. X G1½αα= X*¼ Bi Beꝛ Bas für Bu= Daian und

₰.¼ BitBeꝛ Bes. X+ l1e*rα= X †¼ burbzzbas für bim= X Bllchm= NDaixdncum; also ist

[l= 4(⁸△+ iαeα)?= 1 82,

wenn wir mit S die Substitutionsdeterminante bezeichnen.

Die Determinante der durch lineare Transformation aus einer bilinearen ternären Form erhaltenen transformierten Form ist somit gleich der Determinante der ursprünglichen Form multipliciert mit dem Quadrat der Substitutionsdeterminante. Das Verschwinden der einen bedingt, da die Substitutionsdeterminante nicht verschwinden darf, das der anderen. Die Determinante heiſst deshalb eine Invariante der vorliegenden Form.

Ferner ist dl= S2d4 2₰ 8 dbim— 8e N Dal Aau— 82 ϑ Amd an, Im ik und d bim=— dan= Nanckum d am, 3[44. also auch, wenn man 5be mit Bim bezeichnet, lm

₰ Bun Ciilchmd aik— S2 NAnd Aik, woraus folgt X Bimceilcum— 82 Am. Diese Identität liefert neun Gleichungen, mittelst deren man die Bim aus den Koöfficienten der gegebenen Gleichung und denen der Substitution bestimmen kann. Multipliciert man beide Seiten der Gleichung mit au und summiert zunächst unter Fest- haltung von l und m über i und k, so erhält man unter Berücksichtigung der Identität

bml= Daindimckl= Darxicncum

statt der obigen Gleichung die neue

X Bim bmu— S2 NAicak oder DI= Sep,

womit für D ebenfalls nachgewiesen ist, daſs es eine Invariante ist. Auch diese Form kann für die transformierte Gleichung aus der für die ursprüngliche Gleichung gebildeten durch Multiplikation mit S² erhalten werden.