werden muſs. Diese Gleichung ist dritten Grades in o, liefert also drei Werte und denen ent- sprechend drei Punkte, deren in beiderlei Sinne entsprechenden Geraden zusammenfallen. Eine der Wurzeln ist unter allen Umständen gleich— 1, und ihr entsprechend erhält man den schon bekannten Punkt y mit den Koordinaten azs— à32, 231— 213, 212— 221.

Die beiden anderen Wurzeln sind reell, gleich oder imaginär, je nachdem die Diskriminante der Gleichung

(D—)2— 4 2=(D+ o(D—– 34) positiv, null oder negativ wird.

Für D+ 4= 0 werden die beiden übrigen Wurzeln gleich+ 1, die beiden ihnen ent- sprechenden Punkte fallen zusammen, und zwar in den Doppelpunkt des alsdann in ein Ge- radenpaar zerfallenden Polkegelschnitts.

Wird dagegen D— 34= 0, so werden auch die beiden anderen Wurzeln gleich— 1 und es ergiebt sich der Punkt y als dreifach zu zühlender Punkt.

Genau ebenso erledigt sich die Frage nach den Geraden, deren in beiderlei Sinne ent- sprechenden Punkte zusammenfallen. Man erhält zur Bestimmung des Proportionalitätsfaktors 0 eine Gleichung, welche sich von der oben erhaltenen nur durch den Faktor 4 unterscheidet, sie liefert drei Geraden, unter ihnen die ausgezeichnete Gerade c(Az,— Azz, Aa— Als, Ai*— Aal), und sagt aus, daſs die beiden übrigen mit ihr zusammenfallen, wenn D— 34= 0. wird, dals dieselben koincidieren mit dem Doppelstrahl des in ein Punktepaar zerfallenden Polarkegel- schnitts, wenn D+ 4= 0.

Mit Rücksicht auf die früheren Ergebnisse schlieſst man, daſs das Dreieck besonderer Punkte und Geraden identisch ist mit dem dort schon betrachteten und dals es im allgemeinen auſser diesen Punkten und Geraden keine mehr giebt, deren in beiderlei Sinne zugeordneten Elemente zusammenfallen.

§ 8.

8

Die Formen D und A der zu Grunde gelegten Gleichung bedingen durch ihr Ver- schwinden Eigenschaften der Beziehung, welche von der Wahl des Koordinatensystems voll- ständig unabhängig sind. Es ist leicht, ihren durch lineare Transformation unzerstörbaren, also auch von der Wahl des Fundamentaldreiecks unabhängigen Charakter nachzuweisen.

Denkt man sich die Form

f= an XIXI1 durch die lineare Substitution Cxi= Nanyr 0X X= P aum S

übergeführt in die Form ſf= Ybi Yiym, so ist X ainnumy 1— X biny ym, d. h.

bim— DaiGilkm.