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d. h. X auffi= Vanyi= 1 X(alt+ au)yi= ci,
— aziyi= u. s. w.= ca, X₰ agyi= u. s. w.= cz.
Die Gerade c ist also dem Punkte 7 in beiderlei Sinne zugeordnet und ist seine Polare in Bezug auf den Polkegelschnitt. Da ferner
XAuc= NAnci= 1X(Au+ An)ei= Ayi u. s. w., ist auch der Pol der Geraden c in Bezug auf den Polarkegelschnitt. Diese Eigenschaften des Punktes y und der Geraden c konnten auch aus den im vorigen Paragraphen aufgestellten Gleichungen direkt gefolgert werden.
Bezeichnen wir das Paar der aus y an beide Kegelschnitte gehenden Tangenten mit s und’t und ihre Berührungspunkte bez. mit o und z, so folgt aus dem vorhergehenden, dals dem Punkte G die Gerades und dem Punkte z die Gerade t in beiderlei Sinne entsprechen muſs und umgekehrt.
Aus den oben aufgestellten Gleichungen folgt ferner
Tanxiyk= Naxipiyx= 1 XN(ai+ arxi)yiyx= NXcuyx — IX(an— axi) Am—— X(an— aki) Aki— 5 X(ai— aki)(Ai— Axki) =— NamAxi+ NanAix=—(D— 39), wie sich überdies durch direkte Berechnung leicht bestätigen lälst. Ganz analog ergiebt sich
₰ Aixcick= 1 em=— 410D— 39,, d. h. der Punkt y fällt auf die Gerade c und mithin auch auf den Polkegelschnitt, wenn D— 314= 0.
Alsdann ist aber auch die Gerade c eine Tangente des Polarkegelschnitts. Setzt man die Koordinaten der Geraden c ein in die Gleichung des Polkegelschnitts in Linienkoordinaten, so erhält man die Bedingung dafür, daſs c eine Tangente des Polkegelschnitts ist, in der Form(§ 5) (Xrich)h— 4 Amcicc=(D-— 3 4)+† 44(D— 3)=(D+ 4)(D— 34)= 0. Durch Eintragung der Koordinaten des Punktes y in die Gleichung des Polarkegelschnitts für Punktkoordinaten zeigt man, daſs auch der Punkt y auf dem Polarkegelschnitt liegt, wenn (D+)(D— 34)= 0.
§ 7. Das irgend einem Punkte in beiderlei Sinne entsprechende Paar von Geraden DX₰ aixcixk— 0, Daxicixk— 0 wird identisch, wenn auai: Tauici— auni: Naaigi— Taunci. azici—— 9.
Hieraus ergeben sich für den Punkt die drei Gleichungen X(an+ Oan)i= 0, X(au+ ail)ai= 0, X(auss+ 0231)= 0, deren Determinante V 311+ au 212+ 0aa1 213+ 0a31 a21+ Oalz a²n 0als aus+† Oase=+ oD+ D+ ä=(1+ o)4+(D— 4)o 4 40²]= 0 V asi+ 02a13 292+ 0a2s ass+. 0233