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die Verbindungslinie des Punktes mit einem festen Punkte y(aas— asz, aai— als, a12— a21) darstellt. 5

Der Schnittpunkt x des genannten Paares von Geraden, d. i. der dem Punkte a doppelt konjugierte Punkt, liegt nach der letzten Gleichung mit a auf einem Strahl aus y und ist nach der vorletzten harmonisch konjugiert mit in Bezug auf den Polkegelschnitt. Dieser letztere kann demnach auch aufgefaſst werden als der Ort aller Punkte, welche mit den ihnen doppelt konjugierten zusammenfallen. Es ergiebt sich mithin folgender Satz:

Das dem Punkte α als Punkt beider Systeme zugeordnete Paar von Geraden wird har-. monisch getrennt durch die Polare dieses Punktes in Bezug auf den Polkegelschnitt und seine Verbindungslinie mit einem festen Punkte y; überdies liegt jeder Punkt und sein ihm doppelt

konjugierter auf einem Strahle aus y und bildet mit ihm ein Paar harmonischer Pole in Bezug auf den Polkegelschnitt.

Nach dem obigen entspricht jedem Punkte des Polkegelschnitts das Paar seiner Tangenten an den Polarkegelschnitt; nun ist aber die Polare eines solchen Punktes in Bezug auf den Pol- kegelschnitt identisch mit der Tangente desselben in dem fraglichen Punkte; mithin wird das betrachtete Paar von Tangenten harmonisch getrennt durch die letztere und die Verbindungs- linie ihres Berührungspunktes mit dem Punkte y.

Genau dieselbe Betrachtung läſst sich anstellen an der Gleichung der Beziehung in Linien- koordinaten. Man erhält so den Satz:

Das der Geraden a zugeordnete Paar von Punkten wird harmonisch getrennt durch den Pol der Geraden a in Bezug auf den Polarkegelschnitt und deren Schnittpunkt mit einer festen Geraden c(Azs— Asz, Asl— Ais, Ai*— Aar); jede Gerade und die ihr doppelt konjugierte schneiden sich auf der festen Geraden c und bilden ein Paar harmonischer Polaren in Bezug auf den Polarkegelschnitt, den man demnach auch definieren kann als die Enveloppe derjenigen Geraden, welche mit den ihnen doppelt konjugierten zusammenfallen. Jeder Tangente des Polarkegelschnitts entspricht das Paar ihrer Schnittpunkte mit dem Polkegelschnitt und dieses Paar wird harmonisch getrennt durch den Berührungspunkt der Tangente und ihren Schnitt- punkt mit der Geraden c.

§ 4.

Die Bedeutung der Koöfficienten der zu Grunde gelegten Gleichung erhellt aus folgender Uberlegung. Der Ecke(Xz= Xs= 0) des Fundamentaldreiecks entspricht im ersten System die Gerade

3 3.(a11, a2i, a231) und im zweiten die Gerade

(aul, 212, a13). Dieser Ecke ist mithin der Schnittpunkt [alais— aalai?, a11(a31— ai3), aàl1(a12— a21)„ oder[ai(azs— a?)—(Aas— A), ali(al— 213), all(al2— 221)], doppelt konjugiert, liegt also mit jener auf einem Strahl aus y und ist harmonisch konjugiert mit derselben in Bezug auf den Polkegelschnitt, wie oben festgestellt wurde. Ebenso entspricht der Ecke(Xs= X= 0) das Paar von Geraden

(als, 222, a32²) und(aei, 222, 223)