§ 2.

Der Ort aller Punkte, welche auf den ihnen im anderen Systeme zugeordneten Geraden liegen, ist der Kegelschnitt Nanxixk= NaxixiXxk= NX(au+ axi) xixk= 0, der„Polkegelschnitt“ der gegebenen Beziehung. Die Polare irgend eines Punktes in Bezug auf denselben hat die Gleichung X(an+— aui)ixk— 0.

Der Polkegelschnitt zerfällt in ein Geradenpaar, sobald die Determinante desselben

211+ a211 al+ a21 213+ 231

ae+ a12 a22+ 222 ags+ agg= 2(NanAui+ 4)= 0.

as+ aus ass+ a23 ass+† aas Setzt man die hier auftretende Form

DanAxi= NarxiAn= D, so erhält man als Bedingung für das Zerfallen des Polkegelschnitts D+ 1= 0.

Die Enveloppe aller Geraden, welche durch die ihnen im anderen Systeme entsprechenden

Punkte gehen, ist ein zweiter Kegelschnitt Ansisk= X AliSisk= 1 X₰(An+ Axi) éisk= 0, der„Polarkegelschnitt“ der gegebenen Beziehung. Durch die Gleichung X(An+. Ali)ais= 0 wird der Pol irgend einer Geraden a in Bezug auf denselben dargestellt. Unter Benutzung eines elementaren Satzes aus der Lehre von den Determinanten ergiebt sich die Bedingung, unter der der Polarkegelschnitt in ein Punktepaar degeneriert, in der Gestalt . 1(D+ 4)= 0.

Hieraus geht hervor, daſs Pol- und Polarkegelschnitt gleichzeitig degenerieren, wenn

D+ 4=0, daſs aber der Polarkegelschnitt überdies zerfällt, sobald 4=0.

Jedem Punkte des Polkegelschnitts entspricht, wenn man ihn in beiderlei Sinne nimmt, das Paar seiner Tangenten an den Polarkegelschnitt, während umgekehrt jeder Tangente des letz- teren, als Gerade beider Systeme betrachtet, das Paar ihrer Schnittpunkte mit dem ersteren entspricht. Die beiden Kegelschnitte heiſsen deshalb die Kernkegelschnitte der Beziehung.

§ 3. Irgend einem Punkte a, aufgefaſst als Punkt beider Systeme, entspricht das Paar von Geraden aikcixk= 0 und NX axicixk= 0. Bildet man die Summe und Differenz dieser. Gleichungen, so erkennt man in ersterer die Glei- chung der Polare des Punktes x in Bezug auf den Polkegelschnitt wieder, während die letztere,

a2— 232 231— 213 àl2— 221 ₰(aic— axi) cixx— G.2 23 XI XZ XZ V

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