Dem durch die Gleichung S1= 0 dargestellten Punkte x des zweiten Systems entspricht im ersten die Gerade s, wenn 8i:&: 8=(auxi+ 212X 2+ 213X 3) 3(a2iX1+ 222X 2+ 223X 3):(asiX+ 232X 2+ a33X 3), oder wenn gleichzeitig a11X1 a12X2+ a1sX 3— 081 anlx+ a22X 2+ a23xX s= 682 a31X 1+ a32X 2+ assX 3— 083 81x1+ 82Xα S3X= 0. Die Bedingung hierfür ist aber

a211 212 213 81 221 222 2²23 S⸗— 0 231 232 233 S3 81 82 0 V Bezeichnet man die Determinante 211 212 ais 921 2²⁹ 923 V= DX X al1222a33 231 232 233

mit 41 und dio Adſunkte 34 d ai

des Elements aw mit Au, so läſst sich diese Bedingung auch schreiben in der Form

XARéiS k— 0. Diese Gleichung repräsentiert dieselbe Beziehung in Linienkoordinaten, denn sie ordnet jeder Geraden des einen Systems einen Punkt des anderen und jedem Strahlenbüschel des einen eine projektivische Punktreihe des anderen zu.

Hiermit ist der Nachweis für die Möglichkeit einer derartigen Beziehung geliefert.

Denkt man sich insbesondere die beiden Systeme ineinander liegend und bezogen auf ein und dasselbe Koordinatensystem, was wir für die Folge thun, so entsprechen jedem Punkte der Ebene zwei— im allgemeinen von einander verschiedene— Geraden, je nachdem man ihn zu dem einen oder zum anderen System von Elementen rechnet; ebenso entsprechen jeder geraden Punktreihe, in beiderlei Sinne genommen, zwei projektivische Strahlenbüschel. Speciell ent- spricht jedem Punkte der Schnittpunkt der ihm in beiderlei Sinne entsprechenden Geraden und jeder geraden Punktreihe der gemeinschaftliche Strahl der ihr entsprechenden Strahlenbüschel doppelt und wird deshalb der ihm(ihr)„doppelt konjugierte“ Punkt(Strahl) genannt.

Anmerkung: Wenn am= ai wird, also auch Ax= Aui, so wird die Beziehung eine involuforische, denn in diesem Falle entspricht jedem Punkte dieselbe Gerade, mag man ihn zum ersten oder zum zweiten Systeme rechnen. Die betrachtete Gleichung stellt unter dieser Voraussetzung das Polarsystem des Kegelschnitts

D₰ aixXiXxk ä 0 dar. Die Polarreciprocität erweist sich als eine Specialisierung der hier zu untersuchenden allge- meinen Reciprocität.