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die geometrische Definition:»ein Winkel entsteht dadurch, dass man von einem Punkte zwei grade Linien nach verschiedenen Richtungen zieht.« Diese Definition empfielt sich dadurch, dass sie der Schüler bei dem späteren wissenschaftlichen geometrischen Unter- richte wiederfindet. Doch ist dabei gleich darauf aufmerksam zu machen, dass die Grösse des Winkels nicht von der Länge der Schenkel, sondern nur von der Grösse der Drehung abhängig ist, und hierbei lassen sich die von Kissling gegebenen Meditationen recht wohl benutzen. Kaiser wundert sich, dass diese alte Definition nicht schon längst in die didaktische Rumpelkammer geworfen ist und will den Winkel als den Richtungsunterschied zweier von demselben Punkt ausgehender Graden definiert haben. Diese vorgeschlagene Definition ist zu abstrakt und für den Anfänger unverständlich.

Auch die Theorie der Parallelen bietet dem Anfänger Schwierigkeiten. Hoffmann*) will dadurch Klarheit schaffen, dass er den Durchschnittspunkt zweier konvergierender Graden ins Weite hinausrückt, erst bis zur Sonne, dann weiter bis ins Unendliche- Ich halte die beiden Definitionen: parallele sind solche Linien, die sich nie schneiden; oder, die dieselbe Richtung haben, für verständlicher. Parallellinien lässt man am besten dadurch zeichnen, dass man zu beiden Seiten des Lineals Linien ziehen lässt. Das Zeichnen mit dem gleitenden Dreieck ist zu umständlich. Lässt man jetzt die beiden Parallelen von einer dritten durchschneiden, zwei Gegenwinkel ausmessen(die Grösse der übrigen sechs Winkel muss der Schüler aus früheren Betrachtungen durch Rechnung finden), und die gefundenen Resultate in die Winkel schreiben, so wird der Schüler die hier stattfindenden Sätze oder Gesetze leicht selbst finden. Die Umkehrung der Sätze ist durch Augen- schein zu constatieren. Die Benennung der Winkelpaare, ohne die Sätze zu geben, halte ich aus dem Grunde nicht für angebracht, da der Schüler den Zweck davon gar nicht einsieht.

Es folgt nun die Lehre von den Dreiecken, die Eintheilung derselben, die Sätze von den Seiten und Winkeln; alle diese lassen sich durch Messung derselben, durch Ausschneiden und Aneinanderlegen der Winkel finden.

Um die Kongruenzsätze durch Anschauung zum Verständniss zu bringen, lässt man aus gegebenen Stücken ein Dreieck zeichnen, daneben wird aus denselben Stücken ein zweites gezeichnet, durch Messung wird nun konstatiert, dass beide auch in allen andern Stücken übereinstimmen, also kongruent sind. Durch Ausschneiden der Dreiecke oder durch grosse Dreiecke von Pappe lässt sich die Deckung anschaulich machen. Hieran schliessen sich die Elementar-Konstruktionsaufgaben, bei denen auch die Sätze von dem gleichschenkeligen Dreiecke durchgenommen werden können. Dabei ist es eine gute Uebung für die Schüler selbst, die Stücke aufzufinden, in denen die Dreiecke nach der Konstruktion übereinstimmen, nach welchem Satze sie also kongruent sind.

*) Proben aus der Vorschule der Geometrie.