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vor allem das Interesse und die Selbstthätigkeit des Schülers wecken und stetig wach erhalten. Deshalb soll der Schüler viel zeichnen, er darf Zirkel und Lineal so zu sagen nicht aus der Hand legen. Die Anschauung und der Darstellungstrieb sind unablässig zu nähren und zu befriedigen.... Wie die Theorie jeder Wissenschaft aus der Praxis herausgewachsen ist, so sollen die Lehren der propädeutischen Geometrie aus dem Zeichnen hervorgehen, d. h. der Schüler soll unaufhörlich auf Probleme stossen, die ihn zur Lösung, auf Fragen, die ihn zur Beantwortung drängen.— Deshalb verlangt er, dass in einem Lehrbuche der»Vorschule der Geometrie« die Frageform anzuwenden sei. Die Lösungen und Konstructionen, fährt er fort, sind darum auch nur angedeutet oder vor- bereitet, und nur in schwierigeren Fällen oder im Anfange eines Capitels ausgeführt zu geben und die gegebene Figur ist überdies zur Vermeidung sklavischen Kopierens vom Schüler in anderer Lage zu zeichnen. Eine geometrische Formenlehre, welche dem Schüler alle Lösungen vollständig gibt, ist eine Eselsbrücke im besten Sinne des Wortes.

Ueber die Beantwortung der Frage, welcher Stoff für den geometrischen Anschauungs- unterricht auszuwählen sei, sind die Ansichten sehr verschieden. Junghänel z. B. be- stimmt für den Vorkursus nur eine Anzahl Körpermodelle. Durch geeignete Fragen wird der Schüler zur Wahrnehmung der Grenzflächen, Kantenlinien, Winkel, Figuren etc. an- geleitet und ihm so in geordneter Reihenfolge auf dem Wege der Anschauung gleichsam das»geometrische Einmaleins« beigebracht*). In ganz anderer Weise verfährt Köstler. Der Leitfaden für den Anfangsunterricht in der Geometrie besteht aus zwei Theilen: der Formenlehre und der Konstruktionslehre. Die Formenlehre enthält die in dem ersten Theile der Planimetrie üblichen Definitionen nebst der Terminologie und der Bezeich- nungsweise. Die Konstructionslehre enthält die sogenannten Elementar-Konstruktionen**). Lehrsätze sowie Betrachtung der Körper bleiben demnach fort. Die weiteste Ausdehnung will Hoffmann der Vorschule der Geometrie geben. Dem Stoffe nach hat die Vorschule der Geometrie den Schüler in die Kenntniss und Darstellung geometrischer Formen soweit einzuführen, als zum Verständniss der wissenschaftlichen Geometrie und zum raschen Fort- schreiten in derselben unbedingt nöthig ist. Sie soll ihn befähigen zu leichter und freier Bewegung im anschaulichen Vorstellen und Schaffen geometrischer Formen, zur Fertigkeit in ihrer Darstellung und zur Gewandtheit im Ausdruck über dieselben.

Sie soll ferner dem in die Vorhalle der Geometrie Eintretenden einen Vorgeschmack von der Gesetzmässigkeit der Raumgrössen geben, so dass er dann in der wissenschaft- lichen Geometrie die tiefere Gesetzmässigkeit leichter und rascher erkenne und diese Er- kenntniss als sicheres geistiges Eigenthum dauernd behalte. Deshalb sind auch die wichtigsten Eigenschaften der Raumgrössen gleichfalls»Gesetze-(nicht, wie gebräuchlich, als»Sätze« bezeichnet***). Doch sollen diese Gesetze auf rein anschaulichem Wege ent-

*) Cursus zur Einführung in die Geometrie von A. Junghänel. **) Vorschule der Geometrie von H. Köstler. ***) Zeitschr. für den mathematischen und naturwissensch. Unterricht von Hoffmann. 1873.