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IV. Gleichungen des vierten Grades.

65. Erſte Auflöſung. Die gegebene Gleichung ſei 1) 0 = a † Py + cy + dy + y. Hat dieſelbe reelle Wurzeln, ſo beſtimme man deren zwei, y = — a, J = — b, mittelſt der Umkehrungsmethode. Es ergiebt ſich alsdann: 0 = (A 4 By † y*) (a † y) (b † ) nämlich: A = ab 3) 0 = (A † By 4 J) (A 4 By † y*) B = a b. 4) 0 = AA— (B A AB)y + (A † BB † y + (B 4 B)y + y. 66. Aus der Vergleichung von 1. und 4. folgt: à 2 1) A= F oder A= c — A — dB + B b a B — 4 B und die beiden andern Werthe ergeben ſich: EN ab—d a † b — d 3 (a † b) †d 3) „= — 34(2) — A n 5 †ab — e 67. Zweite Auflöſung. Man ſetze für die gegebene Gleichung (65. 1.) 1) 0 C 1 5 ſo ergiebt ſich: 2) 3) b = 8 A + 4B 5) — B † 3 und man erhält hieraus: 6) 0 = a“ — a'c. A+a (Pd — a). A — ſa (d? — 2 c) + b2]. As + (b d — a). A — c. A+ A⸗ 7) 0 = Id (Pe — a d) — b*]) — d (Pd e?— 4 a). B+ [d (P † 2ed †c*— 4 al. B? — d (4e †d*). Be

+ Ee 4 34*). B— 3d. B + Be.

Die Gleichungen 6. und 7. müſſen, da A und B reelle Größen ausdrücken, auch immer reelle Werthe für die unbe⸗ kannten A und B ergeben; ſie müſſen aber auch, da ſie von geradem Grade ſind, dieſe Werthe paarweiſe zulaſſen.

Aus Gleichung 6. ergiebt ſich dann der eine Werth für A, der ondere für A, und ebenſo aus Gleichung 7. der eine Werth für B, der andere für B, weil dieſe Größen (in 1.) auf ganz gleiche Weiſe verbunden ſind und mit einander paarweiſe, nämlich A und B mit A und B, verwechſelt werden können.

Dieſe Auflöſungsmethode iſt, wie man leicht einſieht, jedesmal zuläſſig, die Wurzelwerthe der Gleichung (65. 1.) mögen reell oder imaginär ſein. Man wird indeſſen am füglichſten von ihr nur dann Gebrauch machen, wenn man ſich überzeugt hat, daß die gegebene Gleichung keine reellen Wurzelwerthe hat. Iſt dieſes der Fall, ſo genügt die Auflöſung von nur einer

der Gleichungen (6. 7.), weil ſich, wenn man einen de Werthe von A, B, A, B kennt, die andern (aus 2. bis 5.) leicht ableiten laſſen.