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39. Nicht immer erlangt man durch das (in 26.) angegebene Verfahren und die (nach 29.) erfolgte Umformung der gegebenen Gleichung bei der Umkehrung die zur Beſtimmung einer reellen Wurzel nothwendige ſchnelle Convergenz, vielmehr iſt man, zur Erzielung einer ſolchen, manchmal genöthigt, eine Korrektur des für u erhaltenen Werthes vorzunehmen, was auf folgende Weiſe geſchehen kann.
Aus den Umkehrungsformeln (31. bis 38.) ergiebt ſich:
— Setzt man nun u = u † F und =
ſo erhält man durch neue Subſtitution für y in die gegebene Gleichung (nach 29.) für weine convergentere Reihe als vor⸗ he
10. Es kann ſich ereignen, daß bei der (nach 22.) vorgenommenen Subſtituirung der verſchiedenen Zahlenwerthe für y die Ordinaten Z bis zu einer kleinen Größe abnehmen und alsdann wieder wachſen, ohne daß ſich für fie entgegengeſetzte Vorzeichen ergeben. In ſolchen Fällen geht eine Biegung der Curve nahe, entweder über oder unter der Abſciſſenare, weg, oder berührt dieſelbe, oder ſchneidet ſie in zwei nahe bei einander liegenden Punkten, ſo daß die zwei ſich ergebenden reellen Wurzeln wenig von einander verſchiedene Werthe haben.
In den beiden letzteren Fällen wird man zwar immer noch von der Umkehrungsformel Gebrauch machen können, weil
das von der Unbekannten unabhängige Glied, und mithin das erſte Glied der Umkehrung bis zu Null einer Verkleinerung 7
fähig iſt; es können aber auch, bis zur Erzielung eines zur Convergenz genügend kleinen Werthes von
F hierbei öfters meh⸗ 7
rere Korrekturen (nach 39.) nothwendig werden.
A1. Iſt in der gegebenen Gleichung 0 —= 3 b der abſolute Werth von a — P= c . . . ſo kann meiſtens die Größe u, ohne Anwendung des Verfahrens (26.) und bei großer Ungleichheit dieſer Coefficienten ſelbſt y mittelſt einer der Umkehrungsformeln (31. bis 38.) leicht beſtimmt werden.
42. Bei der Anwendung dieſer Umkehrungsformeln wird man ſich am bequemſten der Logarithmen bedienen, aber beſſer thun, das erſte Glied F durch wirkliche Diviſion zu berechnen, weil man dadurch in den Stand geſetzt iſt, die Größe X
genauer zu beſtimmen, als es ſonſt die Grenze der Tafeln zuläßt.
2. der imaginären Wurzeln.
13. Wir haben die Operationen zur Beſtimmung einer reellen Wurzel der gegebenen Gleichung 0 = a + bPy + cy? + dy + ey + . . damit begonnen, daß wir numeriſche Werthe für y nach und nach ſubſtituirten, um zwei entgegengeſetzte Werthe, + Z und
S* zu erhalten, aber bereits (40.) angegeben, wie ſelbſt bei dem Vorhandenſein reeller Wurzeln, für den Fall nämlich, daß ſolche nahe bei einander liegen, nicht immer entgegengeſetzte Z durch dieſes Verfahren erhalten werden.
Da man aus einer gegebenen Gleichung nicht immer ſogleich zu beurtheilen im Stande iſt, welcher von den drei (in 40.) erwähnten Fällen ſtattfindet, ſo wird es ſchon ſelbſt bei dem Daſein reeller Wurzeln wünſchenswerth, für den Fall aber, daß keine vorhanden ſind, nothwendig, ein Verfahren zu kennen, nach welchem alle Wurzeln, reelle und imaginäre, auf eine und dieſelbe Weiſe beſtimmt werden können. Dieſes Verfahren beſteht in Folgendem:
im
d