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Weiß man nun z. B., daß in irgend einem Gliede der Entwickelung etwa eine Verbindung B* C⸗ vorkommt, ſo ergiebt ſich der Erponent des zugehörigen Faktors A aus dem erſten Gliede des Coefficienten b und dem erſten Gliede des Coeffi⸗ cienten c, wenn man dort bei b den Erponenten von A mit dem Erponenten von B, nämlich mit 3, hier bei c mit dem Erponenten von C, nämlich mit 2, multiplicirt, von dieſer Multiplication aber r ausſchließt, alsdann beide Produkte addirt und dieſer Summe wieder r hinzufügt. Man erhält auf dieſe Art, daß dem Gliede in B' Ce der Faktor
n E +n A P „ und mithin weiter der Faktor x P entſprechen.
Auf dieſelbe Weiſe ergiebt ſich, etwa für die Verbindung B⸗D, der Erponent des zugehörigen Faktors A aus dem erſten Gliede des Coefficienten b und dem erſten Gliede des Coefſicienten d, wenn man dort bei b den Erponenten von A mit dem Erponenten von B, nämlich mit 4, hier bei d mit dem Erponenten von D, nämlich mit 1, multiplicirt, von dieſer Multiplication aber r ausſchließt, alsdann beide Produkte addirt, und dieſer Summe wieder r hinzufügt. Man erhält auf
n(4 + N
dieſe Art, daß dem Gliede in B“D der Faktor A P „ und mithin weiter der Faktor x P entſprechen.
18. Wenden wir dieſes Verfahren bei der Umkehrung obiger Reihe an, ſo finden wir, daß wir als erſte Glieder z. B. der Coefficienten b c d [Dieſe Buchſtaben hier in der Bedeutung (8.) genommen.] folgende Größen — — BA à — — ſien
3b +2e Gr 3 b + 2c+r— 5a und daß der Verbindung B*C2 der Faktor: A a, und mithin weiter der Faktor: x 3 der Verbindung 4bCd†r 4bCd-tr— 5½
B⸗D aber der Faktor: A a„ und mithin weiter der Faktor: X 2 entſprechen.
11. Das Bildungsgeſetz der Coefficienten ergiebt ſich hauptſächlich aus den Erponenten der zugehörigen A. Nennen wir die Glieder der entwickelten Coefficienten G.), in welchen die Summe der Erponenten der urſprünglichen Coefficienten B, C, D, E.. gleich 1 iſt „erſte Glieder der Entwickelung“, in welchen ſie gleich 2 iſt, „zweite Glieder der Entwickelung“, .. in welchen ſie gleich N iſt, „Nte Glieder der Entwickelung“; ſo finden wir, es beſteht der Coefficient jedes Nten Gliedes aus N Fakto⸗
ren, von denen der erſte = der letzte um p kleiner als der Zähler des Erponenten von dem zugehörigen Faktor A, und
jeder vorhergehende der übrigen N— 2 Faktoren um p kleiner iſt, als der folgende, das Produkt ſämmtlicher Faktoren dividirt durch das Produkt 2. 3.4... N. Zu bemerken iſt noch, daß wenn N eine gerade Zahl bedeutet, das bezügliche Glied poſitiv, wenn N aber eine ungerade Zahl ausdrückt, das bezügliche Glied negativ iſt.
15. Wenden wir dieſes wieder auf die Umkehrung der oben angeführten Reihe an; ſo erhalten wir als vollſtändiges Glied für die Verbindungen B⸗D und B'C*: 4b +4 4 i
4 a à 6 5 6 5BD. A
3b + 2c+r 3 b+ 2c-†r— 5a 2. 10B C2 4 2 2
r 3b-P2eEr— 42 3bt2epr3 3bF2epr— 2 3 b + 20 +r— 2 3 6 5
während (S.) liefert:
p+7ꝗ—+r 2p+ 7 —r E 4 p + 7 —+r F 2 3 4 5 5
n (7†r) I5B D + 10BC. A P
Die Umkehrung obiger Reihe enthält (16.), bei welcher nur eine Verſetzung der Faktoren in der Weiſe angeordnet iſt, daß der Zähler des letzten Faktors die zweite Faktoren⸗Stelle, der Zähler des vorletzten Faktors die dritte Faktoren⸗Stelle u. ſ. w. einnimmt.