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Umnkehrung des von der Form:

5 5 —+ Cye + Dyi + Eye —+ ..

9. E⸗ möchte nicht ohne Intereſſe ſein, die jenſeits unter (S.) entwickelte Umkehrungsformel noch in allgemeinerer Geſtalt darzuſtellen. Es kann ſich nämlich der Fall ereignen, daß, um das arithmetiſche Geſetz der Erponenten in die gege⸗ bene Reihe zu bringen, mehrere der Coefficienten gleich Null geſetzt werden müſſen, und daß alſo alle mit ſolchen Faktoren behaftete Glieder der Entwickelung wegfallen. Daher wäre es intereſſant, eine Umkehrung zu kennen, die ſich auf die oben gegebene Gleichung gründete, weil in derſelben kein Geſetz der Erponenten ausgedrückt und man daher bei ihr nicht genöthigt iſt, Coefficienten gleich Null anzunehmen.

Die Umkehrung für dieſe Reihe läßt ſich aber aus dem Umkehrungsgeſetz (S.) folgendermaßen ableiten:

10. Man überzeugt ſich, bei Betrachtung deſſelben leicht, daß die Zahl der entwickelten Glieder durchaus nicht abhängig iſt von den Erponenten der veränderlichen Größe J, ſondern bloß von der Eriſtenz der Coefficienten A, B, C, D. . . . . daß alſo, die Erponenten der veränderlichen Größe y mögen ſein, welche ſie wollen, bei der Umkehrung immer dieſelbe Anzahl Glieder in den Verbindungen von B, C, D. . . . zum Vorſchein kommt.

Denkt man ſich nun in der Umkehrungsformel die Summanden der Coeffienten a, b, c, d... mit ihren zugehörigen Potenzen von X wirklich multiplicirt, ſo findet man eine große Verwandtſchaft zwiſchen den Exponenten von A und den Erponenten der damit multiplicirten Potenzen von xn. Es ergiebt ſich nämlich, daß die Erponenten von N, abge⸗ ſehen von p, welches in denſelben als Summand des Zählers überall fehlt, denen von A ganz gleich und zwar poſitiv ſind,

während die Erponenten von A negative Zeichen haben. Wären daher letztere aus anderen Gründen bekannt, ſo könnten erſtere daraus abgeleitet werden.

11. Der Erponent von A in dem erſten Gliede jedes entwickelten Coefficienten b, c, d. . .. ergiebt ſich aber aus dem

Erponenten von des homologen Gliedes der urſprünglichen Reihe, und zwar indem man zu demſelben r addirt, dieſe Summe durch p dividirt und das Zeichen —

So ſ B der S n von y des mit dem gſ E behafteten während der Exponent von A in dem erſten Gliede des Gliedes der urſprünglichen Reihe: Coefficienten e P 4

P iſt. Auf dieſe Weiſe laſſen ſich die Erponenten von A der erſten Glieder aller entwickelten Coefficienten b, c, d, e... aus

den Gliedern der urſprünglichen Reihe ableiten, und aus den Exrponenten von A in den erſten Gliedern ergeben ſich die S nenten von A in allen übrigen Gliedern.

12. Wie wir bereits geſehen haben, ſind die Verbindungen der Coefficienten B, C, D, E.. der urſprünglichen Reihe in der Umkehrung conſtant und können leicht entwickelt und nach Belieben fortgeſetzt werden.