Umkehrung
des
—
P u n 5
von der Form:
In —= AyP By CyP P
2. Die praktiſche Brauchbarkeit des zu entwickelnden Umkehrungsgeſetzes hängt ab von einer detaillirten Darſtellung und verſchwindet ganz bei einer combinatoriſchen. Sie hängt aber auch ab von einer ſchnellen Convergenz der entwickelten Glieder, und wo letztere fehlt, kann ohnehin von einer Anwendung des Umkehrungsgeſetzes bei numeriſchen Beſtimmungen keine Rede ſein. So umſtändlich daher auch die detaillirte Darſtellung ſein mag, ſo iſt ſie doch der combinatoriſchen vorzu⸗ ziehen, umſomehr, da man bei einer ſchnellen Convergenz der Glieder mit der Anwendung weniger ſchon ausreicht.
Des nothwendigen Zuſammenhanges wegen ſoll das, was zu dem Verfahren der Umkehrung gehört, erwähnt, die Um⸗ kehrung ſelbſt aber detaillirt dargeſtellt werden. Wird dabei die Grenze der praktiſchen Brauchbarkeit überſchritten, ſo möge dieß in der Schwierigkeit, dieſe Grenze zu ziehen, ſeine Entſchuldigung finden.
3. Soll die Darſtellung einer veränderlichen Größe xn, ausgedrückt durch auf einanderfolgende Potenzen einer andern veränderlichen Größe Jy, deren Erponenten in einer arithmetiſchen Progreſſion fortſchreiten, umgekehrt werden, ſoll man näm⸗ lich dieſe veränderliche Größe J durch aufeinanderfolgende Potenzen jener veränderlichen Größe un ausdrücken, ſo kann dieß bekanntlich geſchehen, wenn man y gleich einer hypothetiſchen Reihe mit unbeſtimmten Coefficienten in Potenzen von xn ſetzt, deren Erponenten daſſelbe Bildungsgeſetz beobachten, wie die der gegebenen Reihe, nämlich auf folgende Art:
Hat man obige Gleichung und will y durch Xn ausdrücken, ſo muß dieſe Umkehrung für jeden Werth der Coefficienten
A, B, C, D „guültig ſein; man erhält aber für B, C, D. 0 n und hieraus ax, D ſo daß daher der veränderliche Faktor des erſten Gliedes der hypothetiſchen Reihe wird. Behält man nun weiter zwar für B ſeinen Werth bei, ſetzt aber C, D, . . . = 0, ſo hat man
xn = Ayb + ByP. Da nun der veränderliche Faktor des zweiten Gliedes der gegebenen Reihe, yPd, aus dem veränderlichen Faktor des erſten Gliedes gebildet wird, wenn man erſteren mit yd multiplizirt, aus
N —— XP L aber folgt: 74 — xP,