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—= 4 0,002213875887 3 = 4 0,0000000315192 1 — 4 = —+ 0,991 144496448 4 —= + 0,0000000003488 5 = 4 00000000000032 —= — 0004437597913 0,0000000318712 41 = — 0,0000000000213 4 = — 0005577841681 5 — — 0,0000000000002 Reſt = + 0,000000031849; Siehe folgende Spalte.) — 0,0000000000215 u = — 0,2 40,0000000318712 y = 0,205577809832 Reſt = 0,000000031849

Anwendung der Umkehrungsformel auf die Töſung transrendenter Gleichungen.

187. Das Umkehrungsverfahren leiſtet beſonders gute Dienſte bei der Löſung transcendenter Gleichungen, wenn man bereits einen Näherungswerth kennt und es ſich darum handelt, die Unbekannte noch bis zu einem beliebigen oder verlangten Grade der Genauheit zu beſtimmen.

Man hat hierbei nur nöthig, die vorgelegte Gleichung in Reihen, geordnet nach Potenzen der Unbekannten, zu entwickeln, dergeſtalt, daß das erſte Glied dieſer Reihe, wenn man einen mehr genäherten Werth für die Unbekannte ſubſtituirt, ſich auch mehr dem Werthe von Null nähert. Es wird hierbei jedesmal das erſte Glied die auf Null gebrachte gegebene Gleichung enthalten, wenn man in derſelben u für y ſchreibt.

An einigen Beiſpielen ſoll das Nöthige gezeigt werden.

Anmerkung. In den nachfolgenden Darſtellungen bedeutet: Ln. Natürlicher Logarithmus,

log. Gewöhnlicher Logarithmus, m. WModul des gewöhnlichen Logarithmen⸗Syſtems.

188. Löſung der Gleichung 1) Iſt u nahe ein Werth von y und ſchreibt man u + ux für y, ſo geht die Gleichung über in 2) oder:

—

A B 0 D E F 1

Es ſei z. B. a = 100, ſo ergibt ſich aus den Tafeln der natürlichen Logarithmen leicht, daß u = 30 nahe ein Werth ſidet ſic e

e 5 aſe beinee MWithin ergibt ſich für u = u + ux, nämlich u = 29,5 ein näherer Werth für y, als für u = 30 *).

*) Wir wollen in den folgenden Beiſpielen von der Beſtimmung der Werthe u, u, obſehen und ſtets den zuletzt erhaltenen Werth für

u alsbald ſubſtituiren.