40⁰

176. Und hier ergibt ſich wegen (145. 3.) für das Umkehrungsverfahren ſtets eine Grenze in ſeiner Anwendung. Zur Beſtimmung dieſer Grenze, für welche nämlich die in ihren ſämmtlichen Gliedern abnehmenden Vertikalreihen der correſpondirenden Reihen in ſolche, in ihren Anfangsgliedern zunehmende, Vertikalreihen übergehen, ſei:

AC 1 3 1) —— nämlich —

2 Schreibt man nun p †1 für p in den Coefficienten von A0 (143. 4.), ſo muß zwiſchen den ſo veränderten und

den urſprünglichen Coefficienten von A60 fallen, d. h. es muß ſein:

* 2 1 (3p — 2 6 + 20) (3p — 26 20 — 1) 8 5 — — Hieraus findet ſich: 4 (6— 0) — 5 1 ſp (e) 6— 3)

92 Ze größer ſich hierbei p ergibt, deſto ſchneller convergiren die Vertikalreihen und deſto weniger Glieder hat man zur Beſtimmung der Unbekannten bis zu einem verlangten Grade der Genauheit nöthig.

4) Da mittelſt der vorhergehenden Formeln, weil die Größe unter dem Wurzelzeichen nie eine reine Quadratzahl iſt, nur irrationale Werthe, und mithin für p interpolirte Zahlen, gefunden werden, wir aber ein Intereſſe daran haben, ganze Werthe für p zu erhalten, ſo kann man, wenn ſich der angehängte Decimalbruch größer als 0,5 ergibt, denſelben ganz weglaſſen und die Zahl um eine Einheit vermehren; iſt aber der angehängte Decimalbruch kleiner als 0,5, denſelben

blos weglaſſen.

177. Es ergibt ſich noch aus (176. 3.), daß man für 6 — —= 2 den kleinſten Werth für p erhält, daß alſo die correſpondirenden Reihen des dritten Grades (114. 5.) früher in ihren erſten Gliedern zunehmende Reihen liefern, wie die correſpondirenden Reihen aller höheren Grade.

Für 6 — a = 2 gehen die Ungleichungen (176. 3.) über in:

1 11

p= () †

2 Iſt daher eine vorgelegte Gleichung von einem höheren als dem dritten Grade, ſo dienen doch vorſtehende Formeln

zur Beſtimmung der Grenze der Hauptgruppen, für welche noch ſtets in ihren Anfangsgliedern abnehmende convergirende

Vertikalreihen erlangt werden.

c2

do

178. Zur Beſtimmung der Unbekannten X (175.) kann man ſich nun der in der erſten Abtheilung angegebenen Me⸗ thode (42.) bedienen, indem man gliedweiſe vorgeht, oder der in dieſer Abtheilung berechneten Summenformeln, oder auch man kann beide Methoden mit einander verbinden, indem man die Summenformeln theilweiſe anwendet und den Reſt glied⸗ weiſe beſtimmt. Um indeſſen dieſen Reſt bequem berechnen zu können, darf die Zahl ſeiner Ziffer die Grenze der Mantiſſe der Logarithmentafel nicht überſteigen. Es ſoll an einem numeriſchen Beiſpiele das Geeignete gezeigt werden (186.)

Bei dem Gebrauche der Summenformeln erſtrecken ſich ſämmtliche Rechnungsoperationen auf das einmalige Ausziehen einer Quadratwurzel auf die Anzahl der Decimalſtellen von der verlangten Genauheit der Wurzel und ſodann auf die bloße Anwendung der ſ. g. vier Species.

Es kann übrigens hier nicht mehr darauf ankommen, ſämmtliche Wurzeln einer vorgelegten Gleichung zu beſtimmen, da hierüber das Nöthige in der erſten Abtheilung bereits abgehandelt iſt. Es dürfte vielmehr die Beſtimmung einer einzigen Wurzel einer gegebenen Gleichung hinreichen, die Richtigkeit der gefundenen Summenformeln und ihrer Anwendung durch

Zahlenbeiſpiele nachzuweiſen.