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1 2 3 + [(w — w) ₰+ (w — w) + (w — w) V X. Setzt man der Kürze halber:

— w = W „ — W = V: —— W: ſo iſt: 3 2 1 2 2 2 3 6) o — WW † WW (W † ) W) 4 ( † 2 4 26) 4 x. 4 0 b

3 3 Da nun der Werth von w dem Werthe von w beliebig nahe gebracht, alſo der Werth W beliebig klein erhalten wer⸗ den kann, ſo laſſen ſich die Größen A, B, 6C auch ſtets ſo beſtimmen, daß 2 1 2 3 23 1 2 3 7) [WW † (W W) W) —= 4 WWW (W W + W) nämlich B

iſt; weil bei A die Größe als Faktor, bei C und B aber nur als Summand und Faktor eines Summanden erſcheint. 8) Ganz ähnlich läßt ſich der Beweis für die Möglichkeit der Ungleichung B? —= 440 bei allen, reelle Wurzeln enthal⸗ tenden, Gleichungen höherer Grade, ſowie für die Möglichkeit aller Ungleichungen führen, bei welchen die Größe A als Faktor auf der kleineren Seite des Ungleichheitszeichens erſcheint. 9) In gleicher Weiſe läßt ſich zeigen, daß die Ungleichungen, in welchen A nicht als Faktor auf der kleineren Seite des Ungleichheitszeichens erſcheint, nämlich in welchen der Faktor A gar nicht vorkommt, zwar ſtattfinden können, nicht aber bei einer beliebigen Verkleinerung von A nothwendig ſtattfinden müſſen.

Anwendung des Umkehrungsverfahrens, beziehungsweiſe der Summenformeln, auf die Beſtim- mung der reellen Wurzeln der Gleichungen.

175. Iſt für eine vorgelegte Gleichung von der Form: 0 = a + by + cy? + dys + ey + fy + . . . .

ein annähernder Werth u für v beſtimmt, ſo bringe man durch Subſtitution von u + X für N die Gleichung auf die Form:

0 (29.) ſo, daß hierfür die Bedingungen ſtattfinden: 1) B* — 2AC (162. 2.) 4) 2BE — 3AF (162. 1.) (166. 3) 2B60 — 34AE (172. 2.) 6 2B6 . iſ w.

Denkt man ſich die Ausführung, eine unendliche Anzahl von Gliedern zu beſtimmen, für möglich, ſo würde eine kleine Ungleichung bei der Bedingung B? = 2A6 ſchon ausreichen zur Beſtimmung einer jeden Vertikalreihe, und ebenſo eine kleine Ungleichung bei jeder der übrigen Bedingungen zum abnehmenden Anſchluſſe jeder folgenden Vertikalreihe an die Summe aller vorhergehenden, alſo zur Beſtimmung der Größe X.

Da es uns aber in der Ausführung darauf ankommt, die zu ſuchende Größe nur mit wenigen Gliedern zu beſtimmen, ſo iſt es nothwendig, dieſe Ungleichungen möglichſt groß zu erhalten.

Auch hängt die Größe dieſer Ungleichungen von dem Grade der Genauheit ab, bis zu welchem die Unbekannte beſtimmt werden ſoll. Es muß daher die Ungleichung B? —= 3A0 ſo groß ſein, daß ſchnell convergirende Vertikalreihen beſtehen und dieſe daher in ihren erſten Gliedern ſchon raſch abnehmen.