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Findet daher dieſe Ungleichung ſtatt, ſo finden alle übrigen noch mehr ſtatt und es iſt:

3r—6 3r—5

P 6 [F] = 1Färhſ(r — 2) EFr), nämlich: 3 4 6 7 9 10 12 13

311) —= 4 [E]; 7 [F] = 8 ſ2EF); 11 [Fe]) ₰ 12 [3EF*]; 15 F 16 wenn manſr nach und nach = 3, 4, 5, 6, . . .. ſetzt.

172. Läßt man r auf dieſe Weiſe fortgeſetzt wachſen, ſo erhält man aus (171. 4.) als Grenze die Bedingung 1) 4BD — 5Al und findet dieſe Ungleichung ſtatt, ſo finden alle übrigen noch mehr ſtatt. Um jedoch dieſe Ungleichung mit den Ungleichungen (66.) und der (161. 1.) in Einklang zu bringen, wollen wir

die kleinere Ungleichung 2) 4BD —= 6AE nämlich 2BD — 3AE

ſpäter (175. 3.) als Bedingung unterſtellen: wenn dieſe ſtattfindet, ſo findet die Ungleichung (171. 4.), beziehungs⸗ weiſe (171. 3.), noch um ſo mehr ſtatt.

173. Dieſer Betrachtung können in Schema (109.) alle Polynomial⸗Faktoren unterworfen werden, welche die beiden erſten jeder Horizontalſpalte ſind und zwar können hierbei alle, welche ſelbſt Earrts als Faktor enthalten (Po ausgeſchloſſen),

einmal durch ſ) ausgedrückt werden. Diejenigen dieſer Polynomial⸗Faktoren aber, welche den Faktor Ears nicht enthalten, werden hierbei ſtets nur durch

ſy) ausgedrückt. Es findet ſich aber für dieſe, wenn man ſie durch [8] ausdrücken will, ſtets in einer vorhergehenden Ver⸗ tikalſpalte ein, bereits durch [3) ausgedrückt geweſener, Polynomial⸗Faktor, der nun durch ſ) ausgedrückt, für:

W) kE kF kG kH

6 einen der Quotienten: p 6 1

liefert, in welcher Darſtellung k jedesmal irgend einen Zahlen⸗Coefficienten bezeichnet oder gleich Eins iſt.

Hiernach fallen aber dieſe, den Faktor Pa—s nicht habenden, Polynomial⸗Faktoren der erſten und zweiten Stelie jeder Horizontalſpalte in die Kategorie (165. 1.), wodurch nunmehr alle Polynomial-Faktoren ohne Ausnahme einmal durch ſc) ausgedrückt ſind.

von der Wöglichkeit der Ungleichungen, welche nothwendig ſind, durch das Umkehrungsver- fahren ronvergente Reihen zu erhalten.

171. Bringt man eine gegebene, reelle Wurzeln enthaltende, Gleichung von der Form:

1) 0 = a + by + cy + dy † ey + fy6 + nach (22. bis 29.) auf die Form: 2) 0 — B C DP

ſo läßt ſich die Behauptung aufſtellen, daß durch eine ſolche Transformirung ſtets die Ungleichung B = 4A0 erzielt werden könne, und es kann dieſelbe auf folgende Weiſe allgemein eingeſehen werden. Es ſei:

1 2 3 eine gegebene cubiſche Gleichung und — w, — w, — w ſeien die drei Wurzeln derſelben, ſo läßt ſich dieſe Gleichung

vekanntlich folgendermaßen durch ihre Wurzeln ausdrücken: 3 12 13 2 3 1 2 3 4) 0 = www + (ww +† ww † ww)y † (v†w †w)V +

„ „ 3 . * * . Bezeichnet nun — w einen nahen Werth einer der drei Wurzeln, etwa der Wurzel — w, und ſubſtituirt man denſelben für u (nach 29.), nämlich — w + x für J, in 4), ſo geht dieſe Gleichung über in: