14 Bummirung der Bertikalreihen.

119. Wir haben in der erſten Abtheilung dieſer Abhandlung zur Beſtimmung der reellen Wurzeln einer vorgelegten Gleichung ſtets nur die vorderen Glieder der erſteren Vertikalreihen in Anwendung gebracht und waren hierbei, wie die vorgelegten Beiſpiele nachweiſen, manchmal genöthigt, um mit möglichſt wenigen Gliedern zur Beſtimmung der Wurzeln auszureichen, mehrere 13 Transformirungen der Gleichungen vorzunehmen, beziehungsweiſe die Wurzeln auf 1 bis 2 Decimalſtellen annähernd zu be⸗ . ſtimmen, bevor wir von der Umkehrungsformel Gebrauch machten. Zu dieſer Unbequemlichkeit geſellte ſich die Unbeſtimmt⸗ 1 heit, bis zu welcher Stelle genau die angegebenen Formeln die Wurzelwerthe liefern, ſowie die Ungewißheit, ob nicht ſpätere Glieder doch wieder einen beträchtlichen Werth erhielten, durch deren Vernachläſſigung Fehler in das gefundene Reſultat über⸗ gegangen ſeien. Dieſe Inconvenienz läßt ſich zwar in der Anwendung dadurch beſeitigen, daß man die gefundene Wurzel 3 durch Subſtituirung einer Probe unterwirft — nichts deſto weniger bleibt es aber wünſchenswerth, das Verhalten aller nach⸗ folgenden Glieder ſchon aus den Coefficienten der gegebenen oder transformirten Gleichung zu beurtheilen und nachzuweiſen.

Dieſer Nachweis läßt ſich auf die Summenformeln der Vertikalreihen gründen, durch welche wir zugleich Formeln er⸗ halten, welche ſelbſtredend ein weniger oftes Transformiren erheiſchen; dem Geſchäft des Summirens ſelbſt ſollen einige Hülfs⸗ formeln vorausgeſchickt werden.

I. Hülſsformeln zur Zummirung der Pertikalreihen.

120. Schreibt man in dem allgemeinen Binomial⸗Coefficienten nn (1. Anm.) für n, ſo iſt

O. M e

m Cle M M 1. 2 5 3 G [Die Faktoren des Zählers verkehrt geſchrieben und jeden, den erſten ausgenommen, mit — 1 multiplicirt oder dividirt) alſo: 1 1 k-1 1 4 3 1) G) — n (n — Für k = 2 iſt: 3 5 1 — m—1 1 3 1 j — jſt · 1 . 1 m U 1 U 121. Nun iſt: 1 3 3 E= ½) (m — % 92 9 2 %½ 2 ½ 1 m 1 (2m — 3) (2m — 5) Gm — 7) . . . 5 3 2 3 1 Eu 2 Qm — 3) Qm — 4) 2m — 5) 2m — 6) 5 4 112 6 — 34(m — 2)2 m — 1) 2m 1. (2m — 2) (Im — 3) . . (n † 1) m 1 (m — 1) (m — 2) . . S 2 ſt 1 1 (m — 1) (m — 2) . . .. 1 —= — Em — 2) n

Hieraus und aus (120. 2) folgt:

2em—1

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