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welche Ausdrücke allgemein das erſte, zweite, dritte u. ſ. w. Glied einer jeden Vertikalreihe, ausgedrückt durch die Stellenzahl der Hauptgruppen, bezeichnen. Um den allgemeinen Ausdruck der folgenden Vertikalreihe dieſer correſpondirenden Reihen zu erhalten, haben wir nöthig p +1 für p in Formel 1) zu ſchreiben. Man erhält: [9 = (— 1. — S p — 6 + a + U ( † p — 6 † h1 C—1 Pp6 ſy]). B2u8p †3624

Setzt man in dieſer Formel 1 = 1, ſo ergibt ſich der allgemeine Ausdruck für das erſte Glied der folgenden Ver⸗ tikalreihe

p†1

. 2— 1

e Dp6 ſy]. B5p6

Schreibt man in (112. 5.) für m ſeinen Werth aus (115. 4.) oder ſchreibt man in (16. 1.) —2 für und p†l für p, ſo erhält man in Bezug auf die Formel (116. 1.) das folgende Glied der folgenden Vertikalreihe in horizontaler Richtung, nämlich:

p†1

7 —— —— = — P 5 0) (u— M2p—6a [

1 2 6 6 — —

(p—6 a† 1 a (†pP— 6 †a — 2½ 3 00—5 Dp6f 5

117. Die Formeln (116. 2. und 6.) werden uns ſpäter dazu dienen, das erſte Glied irgend einer Vertikalreihe einer correſpondirenden Reihe mit dem erſten Gliede der folgenden Vertikalreihe zu vergleichen. Wir werden aber auch nöthig haben, das erſte Glied einer Vertikalreihe irgend einer Hauptgruppe mit dem erſten Gliede einer Vertikalreihe irgend einer folgenden Hauptgruppe zu vergleichen, ohne daß beide Vertikalreihen denſelben correſpondirenden Reihen angehören. Zur Be⸗ ſtimmung der hierzu nöthigen Formeln bezeichne [) einen in einer folgenden Vertikalſpalte (109.) enthaltenen Polynomial⸗ Faktor, wenn [U) einen in einer vorhergehenden Vertikalſpalte enthaltenen Polynomial⸗Factor ausdrückt; ſo iſt klar, daß, je nach dem Werthe von [) in Bezug auf [), die Größe 6 übergeht in 6 + 1, 6 + 2, 6 + 3, u. ſ. w. a aber hierbei ungeändert bleibt oder auch übergeht in a + 1, 0 + 2, u. ſ. w.

Schreibt man nun [) für [W] und geht 1) 6 in 6 + 1 über, während a ungeändert bleibt, ſo ergiebt ſich aus i G)

1 & c 2p—6— — —= 3 P— †a I2p6a—1 e [8] B— 3p26— 2 0 2) Geht aber 6 in 6 + 2 über und a in a + 1, ſo ergiebt ſich aus (116. 6.): 1

+1 8 — [3] = (— 1) . (3p — 26 + 2 0 — Dp A2 p—6 Fa 5 c1

2 p —6 a—1

118. Es geht aus den bisher entwickelten allgemeinen Gliedern hervor, daß ſich wohl für kleinere numeriſche Werthe von p und m die betreffenden numeriſchen Glieder leicht beſtimmen laſſen. Werden aber die Werthe von p und m einiger⸗ maßen groß, ſo erſchwert ſich die numeriſche Ausrechnung, der vielen Faktoren der Coefficienten wegen, faſt bis zur Unmög⸗ lichkeit der Ausführung. Dieſe Unmöglichkeit ergibt ſich uuzweifelhaft für ſehr große Werthe von p und m.

Um daher doch die Natur der entwickelten Reihen auch für ſehr große Werthe von p und m kennen zu lernen, iſt es nothwendig, die Quotienten der verſchtedenen Glieder der verſchiedenen Reihen in Betrachtung zu ziehen, ſowie die Beding⸗ ungen kennen zu lernen, unter welchen Convergenz der entwickelten Vertikalreihen ſtattfindet. Da ſich aber dieſe Bedingungen am beſten aus den Summenformeln dieſer Reihen ergeben, ſo wollen wir nunmehr das Summiren der (101. 2.) entwickelten Reihen vornehmen und wir wollen hierzu einen elementaren Weg einſchlagen.