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2) Da, je nach dem Grade der umzukehrenden Reihe, nämlich dem Grade der vorgelegten Gleichung, Vertikalreihen verſchwinden; ſo könnte man dieſe auch nach den Coefficienten der verſchiedenen Potenzen von x in Klaſſen eintheilen. Iſt die Gleichung vom erſten Grade, ſo verſchwinden alle Vertikalreihen und es bleibt nur das einzige Glied der erſten Hauptgruppe X = — AB1. Iſt ſie vom zweiten Grade, ſo verſchwinden alle Vertikalreihen mit Ausnahme der einzigen der zweiten Hauptgruppe, um deren Werth das einzige Glied der erſten Hauptgruppe zu vermehren iſt.
Wir können daher die Reihe, deren allgemeines Glied (¶04. 1.) iſt (wofür wir nach (112. 1.) mſ1] ſchreiben), die Vertikalreihe des zweiten Grades nennen.
Iſt die vorgelegte Gleichung vom dritten Grade, ſo verſchwinden alle Vertikalreihen mit Ausnahme der erſten Vertikal⸗
reihe einer jeden Hauptgruppe und wir können daher die Reihen, deren allgemeines Glied u — m1) iſt, die correſpon⸗ direnden Reihen des dritten Grades nennen. Um dieſe Bezeichnung aber in Einklang mit der vorhergehenden zu bringen, müſſen wir noch annehmen, daß für die correſpondirenden Reihen des dritten Grades, welche den beiden erſten Hauptgruppen zur Beſtimmung von x noch zuzufügen ſind, p nicht kleiner ſein könne als 3, daß mithin das allgemeine Glied der erſten
Vertikalreihe der correſpondirenden Reihen des dritten Grades —= m1] ſei.
Iſt die vorgelegte Gleichung vom vierten Grade, ſo verſchwinden alle Vertikalreihen mit Ausnahme des erſten Gliedes der Entwickelung, der Vertikalreihe des zweiten Grades, der correſpondirenden Reihen des dritten Grades und derjenigen cor⸗ reſpondirenden Reihen, deren allgemeine Glieder den Polynomial⸗Faktor E, E?, E', Ei, haben und welche wir corre⸗ ſpondirende Reihen des vierten Grades nennen wollen und zwar wollen wir diejenigen in E, erſter Klaſſe, diejenigen in E² zweiter Klaſſe, diejenigen in Es, dritter Klaſſe u. ſ. w. heißen. Dieſe Betrachtung kann man mit allen übrigen Coefficienten fort⸗ ſetzen, wo dann die Zahl der Klaſſe jedesmal mit dem Werthe von a übereinſtimmt und es ergeben ſich daher die correſpon— direnden Reihen, deren allgemeine Glieder den Polynomial-Faktor F, G, H, J, . . . . haben, als ſolche der erſten Klaſſe des Hten, Gten, 7ten, Sten u. ſ. w. Grades.
3) Bei correſpondirenden Reihen des nien Grades iſt ſtets der kleinſte Werth, welchen man p beilegen kann, gleichen und zwar für die erſte Vertikalreihe der erſten Klaſſe (108. 1.)
4) In jeder folgenden Hanptgruppe, von der dritten an gerechnet, beginnen neue correſpondirende Reihen, welche durch ſämmtliche Hauptgruppen ohne Ende fortlaufen. Die Zahl des Zuwachſes dieſer correſpondirenden Reihen wächſt mit der Zahl der Hauptgruppen in vermehrtem Verhältniß.
5) Es iſt ſowohl für die Vertikalreihe des 2. Grades, als auch für die correſpondirenden Reihen des 3. Grades ſtets 6 — a = 2 ſfolgt aus 111. 6. und 7.], wodurch beide im Zuſammenhange mit einander ſtehen und unter ein und daſſelbe allgemeine Glied (104. 7.) ſubſumiren.
6) Würde man demgemäß die Vertikalreihe des 2. Grades als die erſte Vertikalreihe der correſpondirenden Reihen des 3. Grades betrachten, ſo würde das einzige Glied der erſten Hauptgruppe das erſte Glied der Vertikalreihe des 2. Grades bilden.
115. Wir haben bisher den Werth des allgemeinen Gliedes u, — m [9) durch den Exponenten m des Faktors A, nämlich durch die Zahl m der entwickelten Horizontalreihen ausgedrückt und es iſt klar, daß für dieſe Ausdrucksweiſe die Zahl m nicht mit der Gliederzahl der Vertikalreihen übereinſtimmt, weil keine der Letzteren mit einem, den Faktor A in der erſten Potenz enthaltenden, Gliede anfängt. Um das allgemeine Glied auch mit der Gliederzahl jeder Vertikalreihe in Ein⸗ klang zu bringen, ſei m“ der Exponent von A, mit welchem Faktor das erſte Glied einer Vertikalreihe beginne, ſo läßt ſich hieran leicht folgende Betrachtung knüpfen:
Die Vertikalreihen, deren allgemeine Glieder ſind:
beginnen mit der Horizontalreihe 3; 5; 0 S daher: 2p — 3
Hieraus ergibt ſich: e3 1e