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dekadiſchen Zahl reſpective als eine einzige Größe anzugeben, ferner ein Vielfaches oder einen aliquoten Theil einer dekadiſchen Zahl oder einer als gemeſſen gegebenen Größe in einer einzigen dekadiſchen Zahl, reſpective gerade ſo gemeſſenen Größe auszudrücken. Dieſe Aufgabe umfaßt das Addiren, Subtrahiren, Multipliciren, Dividiren in ganzen Zahlen, ſowie das Verwandeln, Gleichnamigmachen, Aufheben und das Addiren, Subtrahiren der Brüche in dem Sinne, daß man darunter Größen, als gemeſſene, verſteht, und das Multipliciren und Dividiren der Brüche vermittelſt Zahlen(ganzer Zahlen). Das Verwandeln der Brüche, ſo viel es angeht, in ſolche, deren Nenner dekadiſche Einheiten ſind, ruft das Rechnen mit Decimalbrüchen als einen beſondern Fall hervor. 1

Die zweite Aufgabe des practiſchen Rechnens hängt von der Art der Größenabhängigkeit unter den Rechnungs⸗Gegenſtäuden ab. So wie die ſogenannte rechnende Geometrie alle ihr zur Grundlage dienende Relationen als aus der Geometrie herrührende, bekannte vorausſetzt, und ſo wie die auf Naturgegenſtände bezogene, angewandte Mathematik alle ihre Abhängigkeitsgeſetze aus unſern Vermuthungen über den in der Natur vorkommenden Größenzuſammenhang als gegeben zu Grunde legt, ſo ſetzen die bürgerlichen Rechnungs⸗ arten die aus dem praktiſchen Leben herrührende Größenabhängigkeit als gegeben voraus. Das Beſtimmen einer Größe durch andere nach einem bekannten Abhängigkeitsgeſetz iſt verſchieden, je nachdem die abhängige veränderliche Größe von einer oder von mehreren unabhängig veränderlichen Größen abhängt. Die Aufgaben der Reſolution, Reduction, der einfachen Regeldetrie— die Aufgaben der Kettenregel ſind eigentlich nur ein Haufwerk ſolcher Aufgaben— gehören in die erſte, die zuſammengeſetzte Regeldetri, Geſellſchaftsrechnung ꝛc. in die zweite Kategorie. Das aus dem bürgerlichen Leben ſtammende Abhängigkeitsgeſetz für das gewöhnliche Rechnen iſt aber im Allgemeinen dieſes, daß unter übrigens gleichbleibenden Umſtänden die abhängig veränder⸗ liche Größe nmal ſo groß oder nmal ſo klein wird, wenn die unabhängig veränderliche oder eine der unabhängig veränderlichen Größen nmal ſo groß geworden iſt. Daraus folgt, daß ſich alle Veränderungen der Größen durch Vervielfachen und durch Theilen in aliquote Theile ausführen laſſen. Da hierdurch keine neue Operatio⸗ nen nöthig geworden ſind, ſo reduciren ſich alle für die bürgerlichen Rechnungsarten nöthige Operationen(das Zählen im dekadiſchen Zahlenſyſtem vorausgeſetzt) auf die 4 Species in ganzen Zahlen und in Brüchen. Selbſt von einem Multipliziren und Dividiren vermittelſt eines Bruches kann hier nicht einmal die Rede ſein.

Darf man nun bei den Sextanern eine hinreichende Bekanntſchaft mit dem dekadiſchen Zahlenſyſtem, dem Rechnen in Zahlen(ganzen), benannten und unbenannten, dem Zuſammenſetzen und Zerlegen vorausſetzen, ſo bedarf es von theoretiſcher Seite nichts weiter als der Lehre vom Bruch, ſelbſt mit Ausſcheidung der Sätze über das Multipliziren und Dividiren vermittelſt eines Bruches, um alle Aufgaben des praktiſchen Rechnens löſen, mit Einſicht löſen zu können. In dieſem Punkte kann ich alſo dem Correferenten in der weſtphäliſchen Directorenconferenz, dem ich ſo oft zuſtimmen konnte, nicht beipflichten, da derſelbe die Lehre von den Proportionen in den Rechenunterricht bringen, und darauf die zuſammengeſetzte Regeldetri, ja ſelbſt die Kettenrechnung gründen will. Was man mit wenig erreichen kann, ſoll man nicht mit viel erreichen wollen, und obendrein erfodert die pädagogiſch didaktiſche Rückſicht auf ſolche Schüler, die ſich noch nicht in dem Operiren mit abſtracten Vor⸗ ſtellungen zurecht finden können, daß der Unterricht ſich Schritt für Schritt an den concreten Dingen fortbewege, jede Rechenoperation von einer entſprechenden Operation an den bezüglichen Dingen begleitet ſie, und daß ſich, wie ſolches ſpäter nöthig wird, das arithmetiſche Operiren an und mit den Maaßzahlen nicht ablöſe von dem Operiren an und mit den bezüglichen Gegenſtänden.

In den untern Claſſen waren alle Zahlen beſtimmte Glieder der natürlichen Zahlenreihe und noch obendrein von ein und derſelben Form, nehmlich der deladiſchen. In Tertia läßt man zunächſt die Bedingung der vollkommnen Beſtimmtheit in der Größe wie auch die der dekadiſchen Form fahren, operirt mit Summen, Differenzen, Producten, Quotienten, hält aber noch daran feſt, daß ſowohl die einzelnen Elemente dieſer Ver⸗ knüpfungen, als auch die Verknüpfungen ſelbſt noch immer Zahlen, d. h. Glieder der natürlichen Zahlenreihe

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