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mentariſch und ungründlich werden müſſe, ſcheint mir faſt noch weniger für ſich zu haben. Der Stofſ, der Gegenſtand der ſphäriſchen Trigonometrie, liegt ganz und gar innerhalb der Gränzen des Reglements, iſt ja weſentlich nichts anders als die dreiſeitige körperliche Ecke, die doch in jeder Stereometrie ihre Stelle gefunden hat. Wenn man es nun in der Ordnung findet, die Abhängigkeit der Elemente der dreiſeitigen körperlichen Ecke unter einander in geometriſcher Weiſe zu lehren, was könnte uns denn hindern, dieſe Abhängigkeit in der Sprache der Arithmetik auszudrücken? So wie man eine Körperberechnung neben einer Figurenberechnung lehrt, muß es auch ſtatthaft ſein, eine arithmetiſche Auffaſſung der Abhängigkeit unter den Elementen des ſphäriſchen Dreiecks, oder was daſſelbe iſt, der dreiſeitigen körperlichen Ecke neben einer arithmetiſchen Auffaſſung der Abhängigfeit unter den Elementen des ebnen Dreiecks hinzuſtellen. Die ſphäriſche Trigonometrie und der in jeder Stereo⸗ metrie vorkommende Abſchnitt über die dreiſeitige körperliche Ecke unterſcheiden ſich nur durch die Art der Be⸗ handlung. Aber die arithmetiſche Behandlung der dreiſeitigen körperlichen Ecke ſoll nach der Meinung des Refe⸗ renten nur fragmentariſch und ungründlich ausfallen können. Ich glaube, die Behauptung iſt vollkommen unge⸗ gründet; denn gerade ſo, wie man in der ebenen Trigonometrie aus a2= b²+ c2— 2 bo Cos C alle Eigen⸗ ſchaften des Dreiecks und alle zwiſchen den Elementen des ebenen Dreiecks ſtattfindenden Relationen ableiten kann, gerade ſo kann man in der ſphäriſchen Trigonometrie aus Cos a= Cos b Cos c+ Sin a Sin b Cos A alle Eigenſchaften des ſphäriſchen Dreiecks und alle zwiſchen den Elementen deſſelben beſtehende Relationen ableiten. Wenn nun eine geometriſche Behandlung des ſphäriſchen Dreiecks nirgends abgewieſen iſt, ja in allen Lehr⸗ büchern der Stereometrie gelehrt wird, und ſich aus dem Vorigen ergiebt, daß eine analytiſche Behandlung des körperlichen Dreiecks ſich eng an die analytiſche Behandlung des ebenen Dreiecks anlegen, ſich alſo kürzer abhandeln, leichter faſſen läßt, und die Reſultate derſelben für die mathematiſche Geographie, für die Geſetze der Cohäſion in den kryſtalliniſchen Maſſen und die damit zuſammenhangenden Geſetze der Kryſtallographie ꝛc. ſo außerordentlich wichtig ſind, ſo wird wohl nichts dagegen, aber ſehr viel dafür zu ſagen ſein, daß man die ana⸗ lytiſche Behandlung der dreiſeitigen körperlichen Ecke in den mathematiſchen Unterricht für's Gymnaſium aufnehme.

Nach dieſen Bemerkungen über den Umfang deſſen, was von Mathematik in dem Gymnaſium gelehrt werden möchte, wäre noch Einiges über die Vertheilung des Stoffes auf die einzelnen Claſſen, ſowie über die Behandlung des Stoffes im Allgemeinen zu ſagen. Der heutige Normalplan legt in die 3 untern Claſſen mit Ausnahme einiger geometriſchen Anfänge ganz allein den geſammten Rechenunterricht. Das bürgerliche Leben ſetzt nicht blos die Zwecke des Rechnens feſt, ſondern aus ihm rührt auch die Art der unter den Gegenſtänden, welche in Rechnung gezogen werden ſollen, beſtehenden Größenabhängigkeit her. Die gemeine Rechenkunſt fodert die durch das Rechnen beſtimmten Größen in derſelben Form, in welcher ſie die gegebenen Größen ausgedrückt hat, nehmlich die Zahlen, welche die Mengen angeben, in der Form des dekadiſchen Zahlenſyſtems, und die ſtetigen Größen als gemeſſen, und zwar, wenn ſie nicht reine Vielfache des Gemäßes ſind, als ein Vielfaches des größtmöglichen aliquoten Theiles dieſes Gemäßes, oder als eine Summe aus dem möglichſt größten Vielfachen des Gemäßes und dem Vielfachen eines möglichſt großen aliquoten Theils deſſelben. Oft wird auch ein aliquoter Theil irgend eines Gemäßes ſelbſt wieder als ſelbſtſtändiges Gemäß gedacht, und darnach die Foderung modificirt. Sieht man zuerſt blos auf diejenigen Zwecke des Rechenunter⸗ richts, bei denen noch von keiner Größenabhängigkeit unter den Gegenſtänden die Rede iſt, ſo können ſich dieſelben nur auf ſolche Operationen beziehen, die man an den Größen, blos in ihrer Größeneigenſchaft für ſich betrachtet, vollziehen kann, alſo auf Zuſammenfaſſung mehrerer als Theile eines und deſſelben Ganzen(als Summe), auf die Auffaſſung einer Größe als Unterſchied zweier andern(als Reſt), auf die Vorſtellung einer Größe als Vielſaches einer andern oder als irgend eines einfachen oder mehrfachen aliquoten Theils dieſer andern. Da nun das Rechnen alle ihre Zahlen in dekadiſcher Form, und die ſtetigen Größen als gemeſſene giebt, ſo iſt, das Zählen im dekadiſchen Zahlenſyſtem vorausgeſetzt, die erſte Aufgabe die: die Summe oder Differenz mehrerer dekadiſchen Größen oder die mehrerer nach denſelben Gemäßen gemeſſener Größen in einer einzigen