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Qualität, ſondern auch der Quantität nach als Folgerungen aus vorausgeſetzten Begriffen abgeleitet haben, ſo ſieht man, was für eine hohe Bedeutung der Mathematik auch als Hülfswiſſenſchaft zukommen muß. Das Wort, welches Jeſus Sirach im prophetiſchen Geiſte ausſprach:„Alles iſt geordnet nach Zahl, Maaß und Gewicht“ ſtellte 2000 Jahre ſpäter der Gründer unſerer heutigen Stöchiometrie ſeinem Buche über die chemiſchen Proportionen als Motto an die Spitze. Aus dem Zuſammenhange zwiſchen der Mathematik und den erklärenden Naturwiſſenſchaften ergiebt ſich der Einfluß, den die Ausbildung der einen dieſer Wiſſenſchaften auf jede der übrigen haben mußte. Freilich kann der Mathematiker ſeine Gebilde nicht aus der Natur abſtrahiren oder entlehnen, aber ſo wie der hiſtoriſche Stoff den Dichter anzuregen und zu begeiſtern, und der Dichter den gegebenen Stoff in einen idealen, das Naturproduct in ein Kunſtproduct umzuſchaffen vermag, ſo kann die Natur den Mathematiker zur Bildung neuer Formen antreiben, ihm in der Vermuthung über einen möglichen Zuſammenhang unter gewiſſen Größen und Größenformen behülflich ſein. Und wirklich, ſo wie man angefangen hatte, die Abhängigkeit einer Erſcheinung von einer oder mehreren anderen, oder einer Erſcheinung als Wirkung von einer Kraft als Urſache zu vermuthen, und namentlich eine Größe als eine von einer oder mehreren Größen abhängige zu betrachten, da war auch für die Mathematik der Weg gezeigt, auf dem ſie zu der Vollendung gelangt iſt, in der ſie nun wieder für die Ausbildung der Naturwiſſenſchaften ſo unendlich wichtig geworden iſt. Die Begriffe von veränderlichen, abhängig und unabhängig veränderlichen Größen, die feſte Verknüpfung dieſer mit conſtanten, in demſelben Zuſtande verharrenden riefen die Lehre von den Funktionen, die höhere Analyſis, die Infiniteſimalrechnung in's Leben. Selbſt die Anwendung der Algebra auf Geometrie, welche ſich bisher immer eng an die Conſtruction und die einzelnen Conſtructionsſtücke hatte anſchließen müſſen, erweiterte ſich zur analytiſchen Geometrie, überſetzte die geometriſchen Definitionen und jedesmaligen Voraus⸗ ſetzungen in ihre eigne ſymboliſche Sprache, operirte in dieſer, und übertrug die Reſultate der Operation nach dem feſtgeſetzten Uebertragungsgeſetz wieder in die Sprache der Geometrie. Was die Mathematik für die Phyſik, Aſtro⸗ nomie geworden iſt, bedarf keiner beſondern Ausführung. In der Pſychologie iſt kein ungeſchickter Anfang gemacht worden, die hier vorkommenden Erſcheinungen auch der Größe nach zu erklären, ſie der mathematiſchen Bear⸗ beitung zu überweiſen. Herbart's Pſychologie gibt davon das beſte Zeugniß. Die Hülfe, welche die Mathe⸗ matik den erklärenden Naturwiſſenſchaften gebracht hat, hat ſie dem praktiſchen Leben nicht verſagt. In den Rechnungen des gewöhnlichen bürgerlichen Lebens, in der Feldmeßkunſt, der Baukunſt, Mechanik, überall iſt ſie auf die erfolgreichſte Weiſe behülflich geweſen. Sie zeigt das Marximum des Effectes bei dem Minimum der angewendeten Mittel, ſie lehrt den Zimmermann aus einem gegebenen Baum den ſtärkſten Balken ſchneiden, den Mechaniker den größten Ausſchlag der Wage mit demſelben Uebergewicht zu erzielen, wie ſie dem Aſtro⸗ nomen ſagt, wann und wo er am vortheilhafteſten beobachten, dem Experimentator, wie er am bequemſten und ſicherſten zu operiren habe. Sie zieht die Natur und das Leben in den Bereich des Geiſtes, macht Natur und Leben zu einem Gegenſtand geiſtiger Betrachtung und Forſchung, gibt ihnen die höhere, wiſſenſchaftliche Weihe, drückt ihnen das Siegel rein menſchlichen, ächt humanen Sinnes auf. Nun zieht ſich der Geiſt an ihnen in die Höhe, ſie ziehen ihn nicht in das Endliche, Sinnliche, Materielle hinunter. Doch hiermit ſind wir ſchon zur Bedeutung der Naturwiſſenſchaften für das höhere geiſtige Leben übergegangen.

Die reine Mathematik, und auch die angewandte, da in ihr nur ſo viel Mathematik vorkommt, als reine darin enthalten iſt, hatte es blos mit den Gebilden unſerer Imagination, mit reinen Erzeugniſſen des Geiſtes zu thun, oder mußte ihre von Außen herſtammenden Vorſtellungen ſo ſehr aller unmathematiſchen Bei⸗ miſchung entkleiden, daß dieſelben ganz und gar von gleicher Natur mit reinen Erzeugniſſen unſeres Geiſtes erſchienen. Nicht ſo verhält es ſich mit den Naturwiſſenſchaften. Hier iſt das Objekt ein nicht von uns Gegebenes, Erzeugtes. Selbſt, wenn unſer eigner Geiſt Gegenſtand der Unterſuchung wird, tritt er dem unterſuchenden Subject als ein nicht von ihm Gemachtes, ſondern als etwas Gegebenes gegenüber. Doch laßt uns von dieſem Zweig der Naturwiſſenſchaften, von der Pſychologie, abſehen. Als Wiſſenſchaft genommen

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