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lichen Zahlen nach dem dekadiſchen Zahlenſyſtem muß unſere Aufmerkſamkeit und Bewunderung erregen. Mit zehn einfachen Zeichen und einem einfachen Stellengeſetz iſt man im Stande, alle mögliche Zahlen auszudrücken, und auf die einfachſte Weiſe auch deren Summen, Differenzen, Producte ꝛc. wieder in derſelben Form anzugeben. Daß die in der Geometrie ſo weit vorgeſchrittenen Griechen, die uns auch in der„Theorie der Zahlen“ ſchon manches Hübſche hinterlaſſen haben, in der Arithmetik ſo weit zurückgeblieben ſind, hat wahrſcheinlch ſeinen Grund in dem Mangel eines bequemen, an das Zahlengeſetz ſich eng anſchließenden Zeichenſyſtems. Um dies zu prüfen, verſuche man nur mit griechiſch oder römiſch geſchriebenen Zahlen zu multipliciren, dividiren ꝛc. Ich brauche in Bezie⸗ bung auf die allgemeine Arithmetik nur an die einfachen Zeichen und deren geſchickte, mit den Operationen an den Zahlen ſtets gleichlaufende Verwendung zu erinnern, um die Vortrefflichkeit der mathematiſchen Darſtellungs⸗ weiſe, der mathematiſchen Sprache in's klarſte Licht zu ſtellen. Ja, in dieſem genauen Parallelismus zwiſchen den Operationen an den Zeichen und den Operationen an den den Zeichen zu Grunde liegenden Begriffen iſt es wohl vorzugsweiſe zu ſuchen, was die ſo häufig vorgekommene und noch öfters vorkommende unſtatthafte Gene⸗ raliſirung einer Behauptung veranlaßt, und einen Satz über die Sphäre ſeines an gewiſſe(überſehene) Deter⸗ minationen geknüpften Beweiſes hinausgetrieben hat.(Siehe meine Programmabhandlung vom Jahre 1852.) Die Kryſtallographie und Stöchiometrie ſind wohl diejenigen Wiſſenſchaften, welche ſich dieſes Muſter von Dar⸗ ſtellungsweiſe am vollſtändigſten und erfolgreichſten angeeignet haben.

Doch die Mathematik iſt nicht blos auf die Bearbeitung der Gebilde unſerer eigenen Imagination, die mit der Welt der innern oder äußern Wahrnehmung in gar keiner Verbindung zu ſtehen brauchen, beſchränkt, und ihre Bedeutung für unſer höheres geiſtiges Leben iſt nicht in dem Vorigen erſchöpft. Schon oben wurde angeführt, daß Plato in ſeiner Foderung an die Schüler die Mathematik vorzugsweiſe von ihrer formell bildenden Seite, und nicht ſo ſehr als eine für die andern Wiſſenſchaften nothwendige Handhabe, als eine Hülfswiſſenſchaft aufgefaßt habe. Allerdings haben auch die Alten ſchon die Mathematik in der Meßkunſt, Aſtronomie ꝛc. angewandt, ihr ſchon praktiſche Fragen und Aufgaben aus der Natur und dem Leben vorgelegt, aber die geringe Ausbildung, welche die ſymboliſche Mathematik bei ihnen erlangt hat, iſt wohl Urſache geweſen, daß nach dieſer Seite hin die Bedeutung der Mathematik weniger ſtark hervorgehoben worden iſt. Und doch gerade als Hülfswiſſenſchaft iſt die Mathematik zu einer ſo umfaſſenden und großen Bedeutung gelangt. Wegen der zwiefachen Auffaſſung der Mathematik, einmal als Wiſſenſchaft für ſich, das andere Mal als Hülfswiſſenſchaft für alle Wiſſenſchaften, die ſich mit dem Größenzuſammenhang zwiſchen Naturgegenſtänden oder Gegenſtänden des bürgerlichen Lebens beſchäftigen, hat man wohl die Mathematik in eine reine und eine angewandte eingetheilt, aber ſo viel Mathematik in der angewandten vorkommt, ſo viel reine iſt darin enthalten. Jede erklärende Wiſſenſchaft, ſie mag nun auf den äußern oder innern Zuſammenhang der Wahrnehmungen des innern Sinnes, geiſtiger Erſcheinungen, oder den der Wahrnehmungen des äußern Sinnes, körperlicher Erſcheinungen ausgehen, ſtellt wie der Geometer, wenn er bei der Auflöſung geometriſcher Aufgaben noch die Auflöſung ſucht, oder zwiſchen gewiſſen Dingen einen Zuſammenhang von Grund und Folge vermuthet, Hypotheſen, Vermuthungen auf, leitet dann aber, wie in der reinen Mathematik, aus dieſen hypothetiſchen Begriffen, unbekümmert um ihren Urſprung, alle mögliche Folgerungen ab, und ſieht zuletzt zu, ob die gefolgerten Ableitungen mit den Erſcheinungen, zu deren Erklärung er die hypothetiſchen Begriffe aufgeſtellt hatte, zuſammenfallen oder nicht. Die Folgerungen aus den hypothetiſchen Begriffen dieſer Wiſſenſchaften ſind gerade ſo ſicher, als die Beweisſchlüſſe in der Syntheſis einer geometriſchen Aufgabe nur ſein können, und die Ableitung aus jenen Begriffen iſt logiſch ganz einerlei mit der Ableitung aus mathematiſchen Begriffen, ja vollkommen mathematiſch, wenn der hypothetiſche Begriff ein Größenbegriff iſt, oder blos in Rückſicht auf ſeine Größen⸗ eigenſchaft in Betracht gezogen worden iſt, es mag dieſe Größe eine geiſtige oder phyſiſche, eine dynamiſche oder räumliche, oder was für eine andere ſein. Da nun alle erklärende Wiſſenſchaften nur dann als vollkommen ausgebildet angeſehen werden können, wenn ſie die zu erklärenden Erſcheinungen nicht blos der