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loſigkeit und die ſtrengſte Zucht des Denkens, das waren des großen Mannes erſte und höchſte Foderungen. Alles andere mußten Diejenigen ausziehen und verlaſſen, die ſeine Jünger werden, die wie Moſes in den heiligen Buſch treten, oder wie der reiche Jüngling Jünger des Reiches Gottes werden wollten, denn den Alten war die Philoſophie nicht bloß eine Sache der Wiſſenſchaft und der Erkenntniß der Wahrheit, ſondern zugleich eine Angelegenheit des Lebens, des ganzen Menſchen in allen ſeinen höheren Beziehungen, ſo daß ein geiſtreicher Schriftſteller der neuern Zeit ſagen konnte:„Wie den Juden das Geſetz, ſo war den Heiden die Philoſophie ein Zuchtmeiſter auf Chriſtum.“ Dieſen ſtets der Wahrheit zugewandten Sinn, dieſe Freude an der Wahrheit um der Wahrheit willen, dieſe Bereitwilligkeit im Aufgeben jedes auch noch ſo tief gewurzelten Irrthums, dieſe Zucht des Denkens, dieſe formelle Bildung des Geiſtes erwartete der Mann des Reichs der Ideen von dem Studium der Mathematik, und was der große Mann vermuthete, hat ſich nicht bloß in der Erfahrung beſtätigt, läßt ſich auch als eine in der Natur des Gegenſtandes begründete Erwartung nachweiſen.

So lange der Mathematiker in der Mathematik ſteht, ſchließt er ſich auf die beſtimmteſte Weiſe von der Außenwelt ab, iſt im ſtrengſten Sinne des Wortes nur bei ſich, bei ſeinen eignen Gebilden, und wenn ihm auch die Außenwelt zu ſeinen Gebilden und Betrachtungen Anregung gegeben hat, ſo muß er die ſo erzeugten Vorſtellungen doch vor ihrer mathematiſchen Verwendung alles ihres Beiwerks, aller ihrer den Urſprung verra⸗ thender Anhängſel entkleiden, und ſie ganz und gar zu eignen, freien geiſtigen Erzeugniſſen umſchaffen. Auch legt er in ſeine Darſtellungsmittel, ſeine Figuren und Symbole nie mehr hinein, als Begriff, Definition, Voraus⸗ ſetzung in ſie hineingelegt haben, und er ſieht bei der Ableitung auf die ſtrengſte Weiſe von allem Dem ab, was über den Begriff hinaus in ihnen noch enthalten ſein mag. Daher iſt die Mathematik immer am vorſichtigſten und ſorgfältigſten in den Elementen, in den Grundvorſtellungen und Grundbegriffen, in den einfachſten Dingen, in der genauen Faſſung der Definitionen, in der ſtrengſten Feſtſtellung und Beibehaltung des den Vorausſetzungen angewieſenen Inhalts und Umfangs, in der Conſequenz der Ableitung. Daher haben die Meiſter unter den Alten, die uns in ihren mathematiſchen Schriften ein noch immer unübertroffenes Muſter wiſſenſchaftlichen Geiſtes hinterlaſſen haben, nie eher eine Definition aufgeſtellt, bevor die logiſche Möglichkeit des Begriffes dargethan, nie eher die Diviſion eines Begriffes gegeben, bevor deſſen Definition klar und beſtimmt ausgeſprochen war. Daher haben ſie nie eher einen Lehrſatz ausgeſprochen, ehe ſie die in ihm vorkommende Vorausſetzung als eine von logiſchen Widerſprüchen freie nachgewieſen hatten. Daher findet man bei ihnen eine faſt pedantiſche Strenge ſelbſt in der äußern Form des Beweiſes, die größte Genauigkeit in der Angabe der Grenzen der Gültigkeit ihrer theoretiſchen Sätze wie in der Determination der bei der Auflöſung mathematiſcher Aufgaben verwendeten Daten, eine ſtrenge Ausſchließung alles unbefugten Analogiſirens und Generaliſirens. Vermuthet der Mathe⸗ matiker einen Zuſammenhang zwiſchen mehreren Begriffen, oder ſucht zu einem Begriff, als Folge gedacht, einen andern Begriff als Grund, ſo kann und wird er ſich durch Analogie und Induction leiten laſſen, vorläufig annehmen, daß dieſer oder jener Zuſammenhang ſtattfinde, irgend etwas in der und der Form erſcheinen könne, Hypotheſen aufſtellen, ändern, endlich aber, nachdem er meint, das Richtige gefunden zu haben, wieder beim Beweiſe auf den alten Weg der ſichern Ableitung zurückgehen, und mit unerbittlicher Strenge prüfen, annehmen, determiniren oder verwerfen.

Die Mathematik war den Alten vorzugsweiſe eine Schule der Gymnaſtik des denkenden Geiſtes, eine concrete, gleichſam verkörperte Logik, die formale Grundlage jeglicher andern Wiſſenſchaft Wo ſieht man auch klarer und beſtimmter, wie die Aenderung dieſes oder jenes Elementes in einem vorliegenden Complexe die Aende⸗ rung eines oder mehrer andern geſetzmäßig nach ſich zieht, während andere Elemente in ihrer Form und Größe auf eine beſtimmte Weiſe verharren? wo wird die Combinationsgabe ſo ſicher geweckt und geleitet, wo auf die Verallgemeinerung der Begriffe und auf den ſyſtematiſchen Aufbau der Wiſſenſchaft ſo ſtreng Bedacht genommen, wo findet das Vermögen des Vermuthens, der Hypotheſenbildung, des wiſſenſchaftlichen Crrathens größere Nahrung, wo läßt ſich die Richtigkeit eines vermutheten Zuſammenhangs mit ſolcher Klarheit und ſolcher überzeugenden