15 der zwei über den gegenüberliegenden Seiten construierten gleichseitigen Dreiecke geht dann durch den mittleren der drei Punkte. Man erhält nur dann ein derartiges Verbindungssystem, wenn der Bogen über der gegenüberliegenden Seite, der einen Peripheriewinkel von 1200 fasst, die Verbindungs- linie innerhalb des Vierecks schneidet. Schneidet er dieselbe ausserhalb, so ist kein solches System mehr möglich. In diesem Falle ist dann AB+ B0+† BD das kürzeste mögliche System.
Fällt bei der Construction des kürzesten Verbindungssystems EF in die Richtung einer Seite, so erhält man den Specialfall, bei welchem die beiden Nebenpunkte auf zwei der vier Punkte zu liegen kommen. Dies trifft immer zu, wenn zwei anliegende Winkel einander gleich und gleich 1200 sind. Solcher Vierecke sind auch eine unendlich grosse Anzahl möglich; denn hat man die betreffende Seite festgelegt, so liegen die zwei anderen Ecken des Vierecks auf den Schenkeln der Winkel von 120°, die in A und D(Fig. 30) an die Seite AD angetragen sind. Bei dieser Art von Vierecken besteht das kürzeste Verbindungssystem aus den drei Seiten, welche die Winkel von 1200 bilden. Hierhin gehört auch der Fall, dass die Verbindungslinie der Spitzen der gleichseitigen Dreiecke durch zwei gegenüberliegende Punkte des Vierecks geht, also EF mit einer Diagonale zusammenfällt. Dies findet bei allen deujenigen Vierecken statt, bei welchen die Diagonale mit den beiden Seiten einen Winkel von 1200 einschliesst. Die betreffenden Seiten des Vierecks sind daher zu einander parallel und man erbält, wenn diese Seiten gleich sind, Parallelogramme, wenn dies nicht der Fall ist, Paralleltrapeze, deren eine Diagonale Winkel von 120⁰ mit den beiden Seiten einschliesst. Das kürzeste Verbindungssystem ist in diesem Fall gleich den parallelen Seiten plus der Diagonale, mit welcher EF zusammenfällt(Fig. 31). Fallen drei solche Punkte in eine Gerade und bildet die Ver- bindungslinie des mittelsten mit dem vierten Punkt mit der Geraden einen Winkel von 120⁰, so kommen die zwei Nebenpunkte des Systems in den 3ten Punkt zu liegen.
Es würde sich lohnen zum Schlusse noch kurz das gleiche Problem für n Punkte der Ebene zu besprechen. Hierbei sind eine Reihe verschiedener Arten von Verbindungsystemen möglich. Man wird auch hier zunächst von der allgemeinsten Art ausgehen müssen, welche, da es sich um das kürzeste System handelt, noch möglich ist. Diese wäre derjenige Fall, bei welchem von jedem der n Punkte eine Verbindungsstrecke nach einem Nebenpunkt im Innern ginge, man würde dann im Innern des Polygons en mit einander verbundene Nebenpunkte erhalten(ig. 32). Zwischen zwei beliebigen Punkten z. B. 1 und n hat man jetzt zwei Verbindungswege, erstens der directe 1 1¹nin und die Verbindung 1112131..(n— 2)¹(n— 1)“ nin.
Geht man von 1 nach li, so kann man sowohl über 2¹131.. als auch über mi(n— 1)1... nach beliebigen anderen Punkten kommen. Es ist also entweder die Strecke 112¹ oder 1¹n über- flüssig. Streicht man nun eine dieser Strecken z. B. l1ni¹, so kann man den Weg, der jetzt über 11 führen würde noch durch den kürzeren Weg 12¹ ersetzen, ebenso den Weg nn¹(n— 1)¹ durch n(n— 1)*. Die Punkte 11 und nui sind also überflüssig. Das Resultat ist daher folgendes: Handelt es sich um das kürzeste Verbindungssystem zwischen n Punkten der Ebene, so können auf keinen Fall mehr als n— 2 Nebenpunkte zu den n Punkten treten: Für diese Art von Verbindungssystemen sei die Bedingung für das kürzeste aufgestellt. Das Polygon wird wieder auf ein Coordinatensystem bezogen und die Punkte desselben mit 1, 2, 3.... n und die Nebenpunkte mit 11¹, 21...(n— 2)¹ bezeichnet. Die Coordinaten der Punkte seien x und y mit den den Endpunkten entsprechenden Indices, die Verbindungsstrecken r mit den Endpunkten derselben als Indices, also Z. B. die Strecke 11¹ mit riI¹