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Für das kürzeste System muss dann der Ausdruck: S= 1111+ r121 † rl2. ren 3)1(= 2) e— 1y d= 2)3 5 r(M= 2* ein Minimum werden. In diesem Ausdruck hat man 2n— 5 Glieder und 2n— 4 Variable. Soll also S ein Minimum werden, so müssen folgende 2n— 4 .. 28 98 98 58

3 Gleichungen erfüllt sein: 1 0; z O..... ain= 2)1 0, 3y(n— 2)= o. ls

ist nun(Fig. 33) r111=(XI1— XI)2+(yl1— y)2; 1112—(XiI— XzZ)?+(yi1— ya)² rlt= /(xII xzi)? †(yII= yl)2; relsr= L/(Xl— xai) †.(vg— y1)? u. s. w. Tcn= 1) en 2u==(x 2)1— Nm U.(NVen— 281— ya= 9)2² Th ch= 21— V/(X— 2)— In)?=(Yc= 221— Vn)

Jede der Variablen kommt nur bei drei Strecken vor, wenn man daher nach ihnen differenziert so erhält man 2n— 4 Ausdrücke von 3 Gliedern, deren jeder gleich Null zu setzen ist. Es ergibt sich als Bedingung für das Minimum

(XII XL)=(aII 2)(XII 21)=

rl r1¹½ 11¹21¹ (yi— yi)+(Fit— y2)+(VII z.)= 0

T111 112 11¹2¹ (X**— Xxa)+(XZi— XAl)+(XZ1— XI1)= 0

1, T2¹4 (Net= J.)(Gel e)(.) o

12 ¹3 12¹4 12111

(y= 21— y/)=(Xy. 201— yn) I(Ym 21 y( 3u)= o r.— 211 1) r in— 2)ln rin— 2)1(n— 3) 1 Aus I ersieht man, dass je zwei Gleichungen immer ein gemeinschaftliches Glied haben,

siehe die 1ste und 3te von I, ferner die 2te und 4te. Die Lage der Coordinatenaxen hat auf die Gleichungen von I keinen Einfluss, man kann daher die Axen beliebig wählen. Sei zur X Axe eine Strecke des Polygons genommen, dann drücken die Glieder der Ausdrücke von I, welche die x im Zähler enthalten, die Cosinuse der Winkel aus, die von der im Nenner stehenden Strecke mit der positven x Axe gebildet werden; die Glieder, welche die y enthalten. bedeuten entsprechend die Sinuse dieser Winkel, welche die Strecken Tiu, Ti, TILI... T'n— 2)ln mit der positiven x Axe bilden, mit win, Wiia, Wigl,.. W(n— 2)1n, so erhält man somit folgende Gruppe von Gleichungen.

coswin+ cCosw+ CoSW= 0 sinwin+ sinw+f sinw e= 0 CosWa+7 COSW Al COSsWan 0 sinwan+ Sinwann+ sinwau= 0 111——— 1— cosw(n 2)1(n— 1)+ cosw(n— 2)1+ cosw(n— 2)(n- 3)= 0 . 8 7 1— sinw(n- 2)¹(n— 1)+ sinw(n- 2) 11+ sinwn— 2)(n— 3)= 0

In Il hat man ein System von je vier Gleichungen, siehe die vier ersten, wie wir es bei der Behandlung der Aufgabe für das Viereck schon angetroffen haben. Man erhält daher für die