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Denkt man sich nun von A auf LO und ML die Lote ACi und AAi gefällt, so ist: AN+ NB ND= A01+ AAl(AB+ Ab folglich auch AN+ NB+ ND(AB+ Ab+ DC. Es ist nun aber AB+ A0C+ DC(AB+ DB+ DC, denn in Dreieck ABD ist der Winkel DAB der grössere, daher auch DB) AD. Ein Verbindungssystem von der gleichen Art würde man erhalten, wenn AB von EF nicht geschnitten würde, es würde dann der Nebenpunkt Nü mit einem der Punkte A oder B zusammenfallen. Schneidet EF weder AB noch DC und ist der über dem anderen Seitenpaar stehende Diago-

. 27 3: 1 3 nalwinkel grösssr als 30 ist auch die eben angegebene Construction nicht anwendbar. In diesem

Falle besteht das kürzeste Verbindungssystem aus den Geraden AB+ A0C+ CD. Es ist Fig. 25.

AB+ AC+ CD(AC+ DB; denn CU) AB da Winkel BAC stumpf ist. Ebenso DU „ DC, da Winkel DCU stumpf ist, daher

C0U+ UD= DB) Aß* DG.

Ferner ist: AB+ AC+† DC(AB+ AD+ DC; denn AC(DA, da Winkel DCAà stumpf ist und endlich AB+ AC+( DC(AB+ Ab+ A0 denn DC(Ab, da Winkel DCA stumpf ist.

Bei den bisherigen Untersuchungen waren die Vierecke mit einem convexen Winkel ausge- schlossen, da in diesen, wie nachgewiesen wurde, kein solches Verbindungssystem möglich war. Da aber hier die beiden Diagonalen kein Verbindungssystem zwischen den vier Punkten darstellen, so können nur noch drei auf einander folgende Seiten oder zwei Seiten und die durch deren Schnitt- punkt gehende Diagonale in Betracht kommen. Je nach der Grösse der Winkel ADB und CBD erhält man eines dieser Systeme. Sind die Winkel ABD, CBD und ABC alle drei stumpf, dann ist AB+ BC- BD das kürzeste Verbindungssystem, denn es ist: AB+ B0+ B85b(AB+ B0+ CD und ebenso kleiner als AB+ B30+ AbD, da BD(DC weil Winkel CBD stumptf ist und BD AD weil Winkel ABD stumpf ist. Ist aber einer der Winkel ABD oder CBD spitz, z. B. DBC, so stellt AB+ B0+ CD das kürzeste System dar, denn es ist jetzt CD kleiner als BD. Wäre Winkel ABD spitz, so würde CB+ AB+ BD das kürzeste“ System sein. Ist Winkel ABC spitz, so stellen die beiden Diagonalen zum Durchschnitt gebracht das kürzeste Verbindungssystem dar(big. 27), also AC+ DE.

Es sollen nun noch einige Specialfälle betrachtet werden, bei welchen die Nebenpunkte mit einem oder zwei der gegebenen vier Punkte zusammenfallen. Hierher gehört auch der früher ge- fundene, bei welchem die beiden Nebenpunkte in den Durchschnittspunkt der Diagonalen zu liegen kommen. Es fällt ein Nebenpunkt mit einem der vier Punkte zusammen, wenn die Verbindungslinie der Spitzen der entsprechenden gleichseitigen Dreiecke durch diesen Punkt hindurchgeht, es bildet dann diese Linie mit der entsprechenden Seite einen Winkel von 60⁰. Es gibt unendlich viele solche Vierecke, welche diese Eigenschaft besitzen und die man sich folgendermassen construieren kann. Auf dem einen Schenkel eines Winkels von 60(Fig. 28) trägt man eine Strecke AB ab, zieht durch A eine beliebige Linie AD, schlägt mit einer beliebigen Strecke um D als Mittelpunkt einen Kreis, dieser treffe den 2ten Schenkel des Winkels von 600 in F. Nan construiert man über DF ein gleichseitiges Dreieck, die Spitze desselben ist der Punkt C, dann ist ABOD ein solches Viereck. Aus dieser Construction kann man, da die Richtung von AD beliebig gezogen werden kann, auch vier Punkte der Ebene erhalten, von denen drei in einer Geraden liegen Fig. 29. Die Verbindungslinie der Spitzen