0ĩ
also: BG2= DB, Xr.
Aus Dreieck BDE ist: BE2= DBZ= DES= DBZ— XiIE= DPe—4 XIVI
da aus Dreieck XIHYI: XiH= 3 /3. XiVi ist. Es ist daher BG2) BF, wenn XY2( XIVI d. h. B6) BF, wenn XVY(X1YI
Das gleiche Resultat erhält man durch eine analoge Ausführung für die zwei anderen Höhen. Es ist CN) CM, wenn XY(XI1Y1. Daraus folgt, dass von den zwei kürzesten Verbindungssystemen dasjenige am kürzesten ist, bei welchem die Verbindungsstrecke der beiden Nebenpunkte am grössten ist.
Wenn auch dies zu einem schnellen Auffinden des kürzesten Verbindungssystems nicht besonders geeignet ist, so ist doch diese gegenseitige Beziehung zwischen den Verbindungssystemen und den Verbindungsstrecken der Nebenpunkte sehr interessant.
Wie früher gezeigt wurde, gibt es eine ganze Reihe von Vierecken, in denen kein solches kürzestes Verbindungssystem, wie es bisher betrachtet wurde, möglich ist. Ist in einem Viereck die
3— 1 4 47 3. Summe zweier anliegender Winkel grösser als 5 und der einem dieser Winkel gegenüberliegende Winkel grösser oder gleich demselben, so ist zwischen den vier Punkten überhaupt kein s Verbindungssystem möglich. Ist zum Beispicl in dem Viereck ABCD Winkel BAD+ ADC)—
5 so lässt sich über den Seiten AB und DC kein Verbindungssystem construieren. Ist nun auch Winkel
ABC) ADO, so ist jetzt auch Winkel DAC+ ABC) 5 also auch das Verbindungssystem über
den Seiten AD und B0 unmöglich. Ferner kann der Fall eintreten, dass die Summe zweier anlie-
gender Winkel grösser als 3 ist und dass der über der gemeinschaftlichen Seite dieser Winkel
stehende Diagonalwinkel ebenfalls) 3 ist. Es ist auch hier kein solches System möglich. Es ist
nun zu untersuchen, was in diesen Fällen, wo man kein solches System erhält, eintritt. Angenom- men es schnitte EF, auch wenn die Construction über den im Winkelraum des spitzen Diagonalwin- kels liegenden Seiten ausgeführt ist, die Verlängerung von DC, so kann man doch einen Punkt N
erhalten, wenn man E mit D verbindet; es ist dann ³ ANB= AND= BND=„(hig. 24).
Man kann auch zeigen, dass in diesem Falle AN+ BN+ DN+ DC wirklich ein uuman ist. In A denke man sich ein Lot auf AN, in B K BD und in D auf DX errichtet, so entsteht das
gleichseitige Dreieck ML.O, denn jeder Winkel ist 3 Von dem Durchschnittspunkt U der Diagonalen
fälle man die Lote US, UR, UT auf die Seiten des gleichseitigen Dreiecks, dann ist nach einem früheren Satz: NA+f NB+ ND= UR+ Us+† UT UA+ UB+ U. Aus Dreieck UDC folgt aber: DC DU+ UC mithin NA+ NB+ ND+ DC UA+ UB+ 2UD+ UC, also um so mehr(AC+ DB.