12 Daraus folgt, dass von den beiden relativ kürzesten Verbindungssystemen dasjenige das absolut kürzeste ist, welches über den in den kleineren Diagonalwinkeln gelegenen Seiten construiert wird. Mit Hülfe der Dreiecke EGF und EiGiFi kann man die Länge des Verbindungssystems durch die Diagonalen und die Diagonalwinkel ausdrücken, es ist nämlich

EF= pn+ A0— 2 A0. OB cos 6*9)

EIEI=/ pB A02— 2 A0.DB. eos— Man findet, dass diese Ausdrücke auch mit den bisher gefundenen Resultaten im Einklang 27 3 werdlen sie gleich der Summe der Diagonalen, und man ersieht aus Fig. 22, dass in diesem Falle

stehen. Es sind EF und EiFi kleiner als die Summe der beiden Diagonalen. Für oder 8=

kein Dreieck EFG existiert, sondern G auf EF fällt. Für oder) 2 existieren keine Punkte N

und Ni mehr, wie man bereits früher gesehen.

Es soll nun noch auf eine Beziehung zwischen den Längen der beiden Verbindungssysteme und der Länge der Verbindungsstrecken der Nebenpunkte aufmerksam gemacht werden. Wie auf Seite 6 abgeleitet wurde, ist die Länge des kürzesten Verbindungssystems gleich der Summe der beiden Höhen des Parallelogramms, welches durch die in den Ecken aut den Verbindungslinien errichteten Lote gebildet wird. Es sind die beiden Systeme daher gleich lang, wenn die Höhen der beiden entstehenden Parallelogramme gleich lang sind. In den Parallelogrammen A1B1CODl und A1 BuOul)n (Fig. 23) sind die Verlängerungen von BX über X bis G und CY über Y bis N, ferner von BYI über Vi bis F und CY1 über Yi bis M die Höhen. Zunächst soll die Frage gelöst werden, wann ist BF= BG? Aus den beiden rechtwinkeligen Dreiecken BDG und BDF folgt, dass BF= BG, wenn DF= DG ist. Fällt man nun von Xi ein Lot auf BF und von X ein Lot auf BG, so ist DM

XiH und DG= VJ. Wir erhalten zwei rechtwinkelige Dreiecke XIYIH und XXYJ, in denen ein Winkel 60 ist, daher Dreieck X'XiH ähnlich Dreieck XXJ. Soll nun DF= DG sein, so sind diese Dreiecke congruent und es muss auch XY= XüIVI sein. Betrachtet man nun die

zwei Höhen CN und CM und fällt man von Xi ein Lot XiO auf CM und von X ein Lot XP auf CN. so ist Dreieck XYP ähnlich Dreieck XIV1O. Soll nun CN= CM sein, so muss, wie sich aus den Dreiecken ACN und ACM ergibt XP= XO sein, da CN parallel AX und CM parallel AX1. Es sind dann die beiden rechtwinkeligen Dreiecke XYP und XIVIO congruent, mithin auch XY= XiVI. Man hat daher das Resultat: Die zwei möglichen kürzesten Verbindungssysteme zwischen vier Punkten der Ebene sind gleich lang, wenn die Verbindungsstrecken der Nebenpunkte gleich lang sind.

Dies findet nun nicht in jedem Viereck statt, denn man kann leicht zeigen, dass es Vierecke gibt, bei welchen die Verbindungsstrecken der Nebenpunkte nicht gleich sind.

Es drängt sich daher die Frage auf, wie stellt sich die Sache in diesem Falle? Eine ähnliche Betrachtung wie die vorhergehende wird zum Ziele führen. Dasjenige von den Parallelo- grammen AiBiCiD: und AuB“OuDu entspricht dem grösseren Verbindungssystem, welches die grössten Höhen hat. Man ziehe die Diagonale BD, dann folgt aus Dreieck BDG

BG2= DB2— GD2= DB 2— 12

Aus Dreieck JXTY ist: JI= XV. sin 60—„ 3 XX

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