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Winkel mit einander bilden nach beiden Seiten hin gleichseitige Dreiecke und verbindet man die Spitzen je zweier auf verschiedenen Seiten gelegenen Dreiecke, so sind die Längen dieser Verbin- dungslinien gleich.

Die beiden Geraden XY und XZ mögen den stumpfen Winkel« mit einander bilden. Es ist dann(Fig. 18): △ RXSRG congruent SXRl weil dieselben in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, nämlich XR= XRI= XZ; XS= XS= XVY.

ferner: Winkel RXSI= RXY+ IXS=.— 3 3— a. Winkel SXR= SXZ+ ZXRI= a.— 3 3 e

mithin RSI= SRI. Für den Fall, dass der von XY und XZ gebildete Winkel spitz ist(Fig. 19) findet das Gleiche statt, es ist ebenso:

Winkel RXSI= IXS EIXkR= a 3.— 2= ⸗ Winkel SXRI= RiXVY O SXY= a+ 1= e,

Aus diesem Satz lässt sich noch eine wichtige Folgerung ziehen. Da in dem Dreieck SXR¹ Winkel SXRI= a ist, so ist, wenn man Y mit Z verbindet, Dreieck XXZ congruent SXRi, daher auch SR1= RSI= ZY. Dieses Resultat lässt sich in folgende Worte kleiden: Construiert man über zwei Seiten eines Dreiecks gleichseitige Dreiecke nach den verschiedenen Seiten hin, so ist die Verbindungslinie der Spitzen zweier solcher Dreiecke gleich der dritten Seite. Dieser Satz gibt ein Mittel an die Hand, um darüber eine Entscheidung treffen zu können, welches von den beiden relativ kürzesten Verbindungssystemen das absolut kürzeste ist, und zwar wie folgt. Man denke sich die beiden kürzesten Verbindungssysteme ihrer Länge nach als die Verbindungslinien der Spitzen der über den entsprechenden gegenüberliegenden Seiten construierten gleichseitigen Dreiecke dargestellt. Diese Längen seien EF und ElFl(Fig. 20). Verbindet man die Spitze G des gleichseitigen Dreiecks ADG mit E und F, so entsteht das Dreieck EFG und durch Verbindung der Spitze Gi des gleichseitigen Dreiecks ABGi mit Ei und Fi das Dreieck EiFiGi. Es ist nun EG= FiG1= DB als Verbindungs- linie der Spitzen der nach verschiedenen Seiten der Strecken AB und AD construierten gleichseitigen Dreiecke. EiGi= FG= AC nach dem vorhin erwähnten Satze, da EiGi die Spitzen der gleich- seitigen Dreiecke EiCB und GiAB verbindet, ebenso FG. Die Dreiecke EFG und ElFiGi haben daher ein Paar gleiche Seiten, welche gleich den Diagonalen des Vierecks sind, folglich ist:

EF) EiFi, wenn Winkel EGF grösser als EiGiFi. Man kann die Bedingung auch so

zusammenfassen: Wenn Winkel EGF 4 EiGiFi ist, so ist EF Hipr

Mit Hülfe des Satzes: Der geometrische Ort der dritten Ecke eines gleichseitigen Dreiecks, dessen eine Ecke festliegt, während sich die andere auf einer geraden Linie fortbewegt, ist eine

3 2 7 4 Gerade, welche die gegebene Gerade unter einem Winkel von 2 oder 2 schneidet(Specialfall des

Poncelet'schen Satzes) kann man den Zusammenhang der Winkel EGF und EiGi' mit den Diagonal- winkeln zeigen. Der eben erwähnte Satz lässt sich auf elementare Weise folgendermassen beweisen