Beides kann in den folgenden Satz zusammengefasst werden: Ist in dem von den vier Punkten der Ebene
gebildeten Viereck die Summe zweier benachbarten Winkel grösser als 4. oder kleiner als 2n 80 ist
das über den beiden Seiten, welchen diese Winkel anliegen, zu construierende kürzeste Verbindungs- system unmöglich.
Die Bedingung, dass NXNü die Richtung von EF haben muss, lässt sich ebenfalls durch eine andere ersetzen. Zieht man die Diagonalen AC und DB, der Durchschnittspunkt sei X, so lässt sich zeigen, dass dieser Punkt ausserhalb der Dreiecke ANB und DNiC liegen muss. Man verbinde N mit B und C und Nü mit A und D, so entstehen die beiden Paralleltrapeze ANCNl und BNDN, da ANPparallel NiC und NiD parallel NB(Fig. 15). Die Diagonalen dieser Paralleltrapeze liegen innerbalb derselben. Beide haben die Diagouale NNi gemeinsam, folglich schneiden sich die anderen innerhalb der Vierecke, also ausserhalb der Dreiecke DNiC und ANB. Ueber der Sehne D0 stehen nun die beiden Winkel DNiC und DXC; von diesen ist Winkel DXC der kleinere, da er einem grösseren Kreisabschnitt angehört, also
Winkel DXC(DNiO. 2 Nun ist aber DNiC= 5 also
27 DXG(G arr 5
2 Damit also ein kürzestes Verbindungssystem der vorgeschriebenen Art zwischen den vier 3. 2 7 Pankten existiert, muss der Winkel, den die Diagonalen mit einander bilden, kleiner sein als
Hat aber NNi entgegengesetzte Richtung wie EF, so schneiden sich die beiden Diagonalen AC und DB innerhalb der Dreiecke ANB und DNiC, wie sich aus Fig. 16 klar ergibt. Für diesen Fall ist DXC) DNiIC also:
9 DXC) a. 3 2 Für den Grenafall, dass Winkel DXC= 2 wird, lässt sich auch aus der Constructionsfigur ₰
die Gestault des kürzesten Verbindungssystems ableiten. In diesem Fall fällt der Punkt N mit Ni zusammen und das kürzeste Verbindungssystem besteht aus den beiden Diagonalen.(Siehe Figur 17.)
Da man die Construction über jedem Seitenpaar ausführen kann, so ergibt sich, dass man im allgemeinen zwischen vier Punkten der Ebene zwei solche relativ kürzeste Verbindungssysteme erhalten wird, und es frägt sich nun, welches von diesen das absolut kürzeste ist. Diese Frage können wir entscheiden, indem wir die Länge der beiden Systeme, welche wir ja auf einfache Weise durch Construction finden können, messen. Hierbei muss jedoch berücksichtigt werden, dass die Verbindungslinie der Spitzen der entsprechenden gleichseitigen Dreiecke nur dann die Länge des Systems angibt, wenn ein solches über den betreffenden Seiten möglich ist. Man müsste daher doch zunächst die ganze Construction ausfübren, ehe man eine Entscheidung treffen könnte.
Aber auch aus der gegenseitigen Lage der vier Punkte kann darauf geschlossen werden, welches von den beiden möglichen Verbindungssystemen das kürzeste sein wird. Diesem Nachweis sei folgende Betrachtung vorausgeschickt. Errichtet man über zwei Strecken, die einen beliebigen
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