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Die Construction gibt auch die Mittel an die Hand zu entscheiden, in welchen Fällen ein solches Verbindungssystem unmöglich ist. Schneiden sich die beiden Kreise und kommen die Schnitt- punkte N und Ni innerhalb dieses Stückes zu liegen(Figur 13), so beträgt der Winkel NiNàA nicht 120⁰, wie es das kürzeste Verbindungssystem ertordert, sondern nur 60⁰. Es hat die Strecke NXNi, welche die Richtung EF haben soll, diese Richtung geändert und die Richtung FE angenommen. In diesem Falle ist ein solches kürzestes Verbindungssystem nicht möglich. Ferner zeigt sich, dass eine Lösung nur dann existiert, wenn die Verbindungslinie EF diejenigen Bogen schneidet, auf welchen die Spitzen der gleichseitigen Dreiecke nicht liegen; denn die Bogen, auf welchen diese Spitzen liegen, fassen einen Peripheriewinkel von 60 und nicht von 1200. Es würden also die Winkel ANB und DN10C= 60° sein und nicht wie es die Aufgabe verlangt 1200. Um also Pankte N und Ni von der verlangten Eigenschaft zu erhalten werden, muss die Verbindungslinie EF der Spitzen der gleichseitigen Dreiecke die Seiten AB und DC selbst und nicht deren Verlängerungen schneiden. Damit also ein solches Verbindungssystem zwischen vier Punkten der Ebene möglich ist, ist erforderlich, dass NNü¹ die Richtung von EF hat und dass EF die Seiten AB und DC selbst schneidet. Es handelt sich nun darum zu untersuchen, bei welcher Lage der vier Punkten diese beiden Bedingungen nicht eintreffen. Ich verlängere die Höhen der beiden gleichseitigen Dreiecke bis zu ihrem Durch- schnitt X; den Winkel, welchen EF mit ExX bildet, bezeichne ich mit e und denjenigen von EF mit

—

mit FX mit y, dann ergibt sich Folgendes. EF schneidet AB, sobald'« grösser als 5 wird. Man

erhält also um so mehr kein Verbindungssystem, wenn beide Winkel« und y zusammen grösser als 27 I.

5 werden. In dem Dreieck EFX(Fig. 14) ist: 8+= 2— 6 9.— 2+ 7 also:* e=()

Setzt man nun+† 7 5 so folgt:

2 )„ 6 47 3

d. h. Sobald die Summe zweier benachbarter Winkel kleiner als 33 ist, so ist kein Verbindungs-

system der bisher betrachteten Art möglich. Würde man die Winkel+ α geunommen haben So Wäre

Sobald+†„)

A

wird, so ist das Verbindungssystem unmöglich, und dies tritt ein für 42 ¶&+ 0) 3 Diese Bedingung ist aber in der vorhin gefundenen auch enthalten, denn wenn die Summe

.. 3 27. zweier Winkel eines Vierecks grösser ist als 47. so ist die Summe der beiden anderen kleiner als 7