7 anderen Winkel nachgewiesen werden durch Verlängerung der Strecken ri, ra, ra. In Vierecken mit einem überstumpfen Winkel ist kein solches Verbindungssystem möglich, d. h. für eine solche Lage der vier Punkte, bei welcher der eine in dem von den anderen gebildeten Dreieck liegt.
Um nun das kürzeste Verbindungssystem zwischen vier Punkten der Ebene zeichnen zu können, hat man jetzt nur folgende Aufgabe zu lösen: In einem Viereck sind fünf Linien, von denen vier durch die Ecken gehen, so zu ziehen, dass sie je 120⁰ mit einander bilden und die 5te Strecke die Winkel zwischen den anderen halbiert. Ein geometrischer Ort für N ist der Kreis, der AB als Sehne und einen Winkel von 120 als Peripheriewinkel fasst. Auf einem eben solchen Kreis, der aber durch die Punkte D und C hindurchgeht, liegt auch Ni. Die Strecke NXN halbiert die Winkel DN*C und ANB, mithin auch die Bögen, über denen diese Winkel als Peripherienwinkel stehen. Die Verbindungslinie der Mitten dieser Bögen ist daher der zweite geometrische Ort für N und Ni1. Die Construction gestaltet sich demnach folgendermassen. Ueber der Seite AB schlägt man einen Kreis, der AB als Sehne und einen Winkel von 120° als Peripheriewinkel fasst und einen gleichen Kreis schlägt man über der Seite DC als Sehne. Nun halbiert man die grösseren Bogen AEB und DFC über AB und DC und verbindet deren Mitten. Die Schnittpunkte dieser Linie mit den gezogenen Kreisen sind die gesuchten Punkte N und N1.(Fig. 12.)
Die Punkte N und Nü lassen sich auch noch auf eine zweite Weise finden. Verbindet man nämlich die Punkte A und B mit der Mitte E des Bogens AB, so entsteht ein gleichseitiges Dreieck, da AE= EB und ₰ AEB= 600, was aus dem Kreisviereck ANBE, in dem ANB= 1200 ist, folgt. Ganz analog ist lauch Dreieck DFC gleichseitig. Die Verlängerung der Linie NNi über Ni und N hinaus geht durch F und E. Die Mittelpunkte der Kreise, welche die entsprechenden Seiten als Sehnen und einen Peripheriewinkel von 120° fassen, liegen in dem Durchschnittspunkt je zweier Höhen, da diese Kreise auch den Dreiecken ABE und DOF umschrieben sind. Die Construction hat man dementsprechend, wie folgt, auszuführen. Ueber den Seiten AB und AC errichtet man gleichseitige Dreiecke ABE und DOCF und verbindet deren Spitzen. Um den Durchschnittspunkt der Höhen schlägt man Kreise mit der Entfernung dieser Punkte von den Ecken als Radius. Wo diese Kreise die Verbindungslinie der zwei Spitzen der Dreiecke treffen, sind die Punkte N und N1.
An der Hand der Constructionsfigur kann man noch einige interessante, das Verbindungs- system betreffende, Schlüsse ziehen. Man kann zunächst die Länge des ganzen Verbindungssystems durch eine Strecke, die bei der Construction selbst eine grosse Rolle spielt, darstellen. In der Figur hat man zwei Kreisvierecke, nämlich EANB und FDNüO. Ich bezeichne AB mit a, NE mit d, DC mit b und FNüi mit di. Nach dem Ptolemäischen Lehrsatz, dass das Rechteck über den beiden Diagonalen eines Kreisvierecks gleich der Summe der Rechtecke aus den beiden einander gegenüber- liegenden Seiten ist, erhält man: a. d a. r* a. 13 oder: d= 12+† 13.
Aus dem Kreisviereck FDNiC ergibt sich
b. d“= b. m1 b. rA d1— I1 I..
Mithin: EE 1 r.. 13+ r † 15 d. h. Die Länge des ganzen Verhindungssystems ist gleich der Länge der Verbindungslinie der Spitzen der beiden über den gegenüberliegenden Seiten construierten gleichseitigen Dreiecke. Um daher die Länge des kürzesten Verbindungssystems zu erhalten, hat man über zwei gegenüberliegenden Seiten zwei gleichseitige Dreiecke zu errichten und die Entfernung der Spitzen derselben zu messen.